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《常微分方程31解的存在唯一性定理與逐步逼近法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第三章一階微分方程的解的存在定理7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程需解決的問題7/16/2021常微分方程§3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法7/16/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題7/16/2021常微分方程(1)初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解.證明思路(2)構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列7/16/2021常微分方程(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)7/16/2021常微分方程這是為了即7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程下面分五個(gè)命題來證明
2、定理,為此先給出積分方程的解如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù),則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程7/16/2021常微分方程命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程證明:即7/16/2021常微分方程反之故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得且7/16/2021常微分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通,即上述的積分是否有意義?注7/16/2021常微分方程命題2證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程命題3證明:考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它的前n項(xiàng)部分和
3、為7/16/2021常微分方程對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有7/16/2021常微分方程現(xiàn)設(shè)命題4證明:7/16/2021常微分方程即7/16/2021常微分方程命題5證明:由7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程綜合命題1—5得到存在唯一性定理的證明.7/16/2021常微分方程一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題7/16/2021常微分方程命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列
4、命題27/16/2021常微分方程命題3命題4命題57/16/2021常微分方程2存在唯一性定理的說明7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程3一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件7/16/2021常微分方程三近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里7/16/2021常微分方程注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明則7/16/2021常微分方程例1討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)
5、間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)7/16/2021常微分方程7/16/2021常微分方程例2求初值問題解的存在唯一區(qū)間.解7/16/2021常微分方程例3利用Picard迭代法求初值問題的解.解與初值問題等價(jià)的積分方程為7/16/2021常微分方程其迭代序列分別為取極限得即初值問題的解為7/16/2021常微分方程作業(yè)P781,3,4,87/16/2021常微分方程
