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《3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第三章 一階微分方程的解的存在定理問題的提出：在前一章，我們介紹了能用初等方法求解的一階方程的幾種類型，但同時(shí)指出，大量的一階微分方程是不能用初等方法求出其通解的．另一方面，實(shí)際問題所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解．因此現(xiàn)在我們把注意力集中在Cauchy問題的求解上．與代數(shù)方程類似，對(duì)于不能用初等方法求解的微分方程，我們往往用數(shù)值法求解（以后會(huì)學(xué)到的計(jì)算方法課程內(nèi)容之一）．在用數(shù)值法求Cauchy問題解之前，需要在理論上先解決下面兩個(gè)基本問題：需解決的問題§3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理一、定理1考慮初值問題
2、證明思路(2)構(gòu)造(3.3)近似解函數(shù)列(1)初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解.(逐步求(3.3)的解,Picard逐步逼近法)由于即下面分五個(gè)命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù),則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程證明即反之故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得且構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通,即上述的積分是否有意義?注:命題2證明(用數(shù)學(xué)歸納法)證明考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它的前n項(xiàng)部分和為命題3對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行
3、估計(jì)于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有現(xiàn)設(shè)命題4證明即命題5證明由綜合命題1—5得到存在唯一性定理的證明.一、定理1考慮初值問題命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程命題2命題3命題4命題5二、存在唯一性定理的說明為了保證方程(3.1)的初值解的唯一性，較為著名的常用的充要條件就是定理3.1中所給的Lipschitz條件.但這個(gè)條件卻并非必要的！例1試證方程經(jīng)過xOy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.證明故其通解為但是，我們有從而方程的右端函數(shù)在y=0的任何領(lǐng)域上并不滿足Lipschitz條件這個(gè)例子說明Lipschitz條件并不是保證初值解唯
4、一的必要條件．三、一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件3.1.2近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里注(3.19)式可用數(shù)學(xué)歸納法證明則例2討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)例3求初值問題解的存在唯一區(qū)間.解例4利用Picard迭代法求初值問題的解.解與初值問題等價(jià)的積分方程為其迭代序列分別為取極限得即初值問題的解為作業(yè)P881,3,4,8(思考)
