常微分方程34線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法

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1、3.4線性非齊次常系數(shù)方程線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法.在第2節(jié)給出的常數(shù)變易法比較繁瑣，本節(jié)將給出比較簡單的解法.1考慮常系數(shù)非齊次線性方程(3.4.1)當(dāng)是一些特殊函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)，正余弦函數(shù)，及多項(xiàng)式時(shí)，通常利用待定系數(shù)法來求解。2一、非齊次項(xiàng)是多項(xiàng)式（3.4.2）當(dāng)時(shí),零不是方程的特征根.可取特解形式為（3.4.3）其中是待定常數(shù).比較方程同次冪的系數(shù)……解出3當(dāng)時(shí),零為方程的單特征根，令當(dāng)時(shí),零為方程的二重特征根，直接積分得方程的特解……4綜合情況,我們得到特解形式:通過比較系數(shù)法來確定待定常數(shù)5例1求方程的一個(gè)特解.解:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根

2、為零不是特征根,因此,設(shè)方程特解的形式為將代入方程得比較上式兩端的系數(shù),可得因此,原方程的一個(gè)特解為6例2求方程的通解.解:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為齊次方程通解為:因?yàn)榱闶翘卣鞣匠痰膯胃?將代入方程得:原方程的特解為:原方程的通解為:故特解形式為7二、非齊次項(xiàng)是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積做變換則方程變?yōu)?8(1)當(dāng)不是特征根時(shí),方程的特解形式為(2)當(dāng)是單特征根時(shí),方程的特解形式為(3)當(dāng)是二重特征根時(shí),方程的特解形式為對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程9例3求方程的一個(gè)特解.解:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為二重根因此,該方程特解的形式為將代入方程,可得因此,原方程的一個(gè)特解為

3、10例4求的特解.解:做變換則原方程變?yōu)閷?duì)上面方程積分得到一個(gè)特解因此,原方程的特解為11例7求方程的通解.這里的特征方程有兩個(gè)解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:再求非齊次方程的一個(gè)特解.因?yàn)榉匠痰挠叶擞蓛身?xiàng)組成,根據(jù)解的疊加原理,可先分別求下面兩個(gè)方程的特解.解:先求對(duì)應(yīng)齊次方程的的通解.12這兩個(gè)特解之和為原方程的一個(gè)特解.對(duì)于第一個(gè)方程,設(shè)特解代入第一個(gè)方程得:對(duì)第二個(gè)方程,設(shè)特解代入第二個(gè)方程得:原方程的通解為13三、非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)，正余弦函數(shù)之積當(dāng)不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí),取.當(dāng)是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí),取.方程的特解形式為14例5求的通解.解

4、：先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程的根為所以齊次方程的通解為再求非齊次方程的一個(gè)通解，15不是特征根，故代入原方程得到得A=2，B=1，故原方程的特解為于是通解為16例6求方程的通解.解:先求對(duì)應(yīng)齊次方程的的通解.這里的特征方程有兩個(gè)解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為:再求非齊次方程的一個(gè)特解.是特征根,故原方程特解的形式為17代入原方程得比較方程兩邊的系數(shù)得:故原方程的特解為:因而原方程的通解為:例6求方程的通解.方程特解的形式為18作業(yè):P1492，3，6，7，8(1)，9,1019