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《常微分方程44常系數(shù)齊線性方程組》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、4.4常系數(shù)齊次線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)齊次線性微分方程組解的情況，特別是方程基本解組的情形，所以方程組的解在區(qū)間上存在唯一.即尋找n個線性無關(guān)的解常數(shù)矩陣在上連續(xù)，1一系數(shù)矩陣A有單特征根時的解使是對角矩陣,設(shè)矩陣有n個不同特征根，由線性代數(shù)知識，一定存在一個非奇異矩陣,這里是矩陣A的特征根.?2記,設(shè)對應(yīng)的特征向量，為矩陣的特征根3作線性代換并代入方程可得寫成純量形式,可得方程組積分上面各個方程得解:4因此方程通解為將y代入?5可得方程組的基解矩陣為定理4.13設(shè)矩陣A有n個不同的特征根的通解為且
2、其相對應(yīng)的特征向量為,則方程組6例1求解方程組解先求矩陣A的特征根因此,矩陣A的特征根為對可求得其特征向量對也可求得其相應(yīng)的特征向量為因此,方程組的通解為7例2求解方程組解該方程對應(yīng)的矩陣A的特征根滿足對特征根其相對應(yīng)的特征向量滿足特征向量8特征根對應(yīng)的特征向量分別為線性齊次方程組的通解為9若矩陣A的特征根具有復(fù)特征根的情形,這時方程就會出現(xiàn)實變量數(shù)復(fù)值函數(shù)解.求出方程組的n個實的線性無關(guān)的實值解?定理2若實系數(shù)線性齊次方程組有復(fù)值解則其實部和虛部都是解.證明是方程組的解,即和都是齊次方程組的解.10實矩
3、陣A有復(fù)特征根一定共軛成對出現(xiàn).對應(yīng)的特征向量也與對應(yīng)的特征向量共軛,因此齊次方程組出現(xiàn)一對共軛的復(fù)值解.如果是特征根,也是特征根.則共軛復(fù)數(shù)11例3求解方程組解系數(shù)矩陣A的特征方程為故有特征根且是共軛的.對應(yīng)的特征向量滿足方程取基礎(chǔ)解系（非零解）：12原微分方程組有解原方程組的通解13例4求解方程組解該方程組的系數(shù)矩陣特征方程14故原方程有復(fù)值解取的實部和虛部,得原方程的兩個線性無關(guān)解。故原方程組的通解為15是對應(yīng)的特征子空間的一個基.則存在且對應(yīng)的特征子空間維數(shù)為1,定理設(shè)矩陣A有一個重特征根重數(shù)的向
4、量使得和是齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解.二系數(shù)矩陣A有重特征根時的解16把代入方程證明只需證明是齊次線性方程組的解，且與線性無關(guān)。因為對應(yīng)的特征向量，是矩陣A的特征根，所以且滿足這說明是齊次線性方程組的解.17下面證明和線性無關(guān).事實上，若存在常數(shù)和滿足兩邊乘以得兩邊對求導(dǎo)得因為因而必有代入得即有即說明和線性無關(guān).定理給出了求解方程的通解的一種方法.18例求解方程組解系數(shù)矩陣A的特征方程為因此矩陣A有單特征根和二重根19對，有特征向量有特征向量滿足方程方程有解20定理設(shè)矩陣A有一重特征根重數(shù)且其相應(yīng)的特
5、征子空間是一維的，是該特征子空間的一個基，則一定存在向量滿足而且對也一定存在滿足是齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解.21例求解方程組解系數(shù)矩陣A的特征方程為對應(yīng)的特征向量可取22這里滿足方程組解該方程組，取這里滿足方程解該方程組，取三個解線性無關(guān)。23存在不全為零常數(shù)和以及向量滿足定理設(shè)矩陣A有一重特征根重數(shù)且其對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為2，有兩個線性無關(guān)的特征向量和，使得是方程的三個線性無關(guān)的解.24例求解方程組解系數(shù)矩陣A的特征方程為25對應(yīng)的特征向量方程組有解的充要條件是選取26三矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和
6、性質(zhì)設(shè)A是常數(shù)矩陣,定義矩陣指數(shù)函數(shù)其中E為n階單位矩陣,是矩陣A的k次冪.必須證明矩陣級數(shù)是收斂的.事實上,對一切正整數(shù)k,有所以矩陣級數(shù)是收斂的.而數(shù)項級數(shù)是收斂的,27可以證明右端在任何有限區(qū)間上都是一致收斂的.矩陣指數(shù)函數(shù)有下面的性質(zhì)：1若矩陣A和B是可交換的,即AB=BA,則定義矩陣指數(shù)函數(shù)2對任何矩陣存在,且3若T是非奇異矩陣,則28定理6矩陣是方程組的基解矩陣.證明所以是方程組的基解矩陣.29方程組的通解為這里c是一個常數(shù)向量.定理6矩陣是方程組的基解矩陣.方程組的特解?滿足初始條件30若是
7、方程組的另外一個與不同的基解矩陣,則存在非奇異常數(shù)矩陣C滿足令t=0時,得從而有31定理:若只有一個特征根則例求解微分方程組32解:故是的三重特征根.33作業(yè):P2271(4,7,10)，2(3,6)，5，8(2)34
