自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

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1、§11-4單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)●在振動(dòng)過(guò)程中有動(dòng)力荷載作用的振動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。分析強(qiáng)迫振動(dòng)的目的是求結(jié)構(gòu)最大的動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力。一.運(yùn)動(dòng)方程的建立和求解運(yùn)動(dòng)方程為或運(yùn)動(dòng)方程式是非齊次二階常微分方程，其通解包括兩部分，一部分為相應(yīng)齊次方程的通解，即：一般解特解，設(shè)為代入方程，則得即要使上式在t為任意值時(shí)均能成立，則必須是等式兩邊括號(hào)中的系數(shù)分別等于零，即由此可解出通解為式中C1、C2取決于初始條件。設(shè)當(dāng)時(shí)，，代入上式，可求得通解為由此式可知，振動(dòng)由三部分組成：第一部分是由初始條件決定的自由振動(dòng)；第二部分是與初始條件無(wú)關(guān)而伴隨干擾力的作

2、用發(fā)生的振動(dòng)，但其頻率與體系的自振頻率一致，稱(chēng)為伴生自由振動(dòng)。由于這兩部分振動(dòng)都含有因子，故它們將很快衰減而消失，最后只剩下按干擾力頻率而振動(dòng)的第三部分，稱(chēng)為純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。我們把振動(dòng)開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段稱(chēng)為過(guò)渡階段，而把后面只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)的階段稱(chēng)為平穩(wěn)階段。通常過(guò)渡階段比較短，因而對(duì)實(shí)際問(wèn)題一般只討論純強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)下面分別就考慮和不考慮阻尼兩種情況來(lái)討論。二．不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程及方程的解令，質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)方程為由式(11-28)的第三項(xiàng)可知純強(qiáng)迫振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移為2.振幅的計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的最大動(dòng)位移(即

3、振幅)為由于，故，代入上式得式中代表將簡(jiǎn)諧荷載的幅值P作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起質(zhì)點(diǎn)的靜力位移；而為質(zhì)點(diǎn)的振幅與靜力位移之比值，稱(chēng)為位移動(dòng)力系數(shù)。若干擾力，則類(lèi)似地可得純強(qiáng)迫振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移為由上可知，根據(jù)與的比值求得動(dòng)力系數(shù)后，只要將簡(jiǎn)諧荷載的幅值P當(dāng)作靜力荷載而求出質(zhì)點(diǎn)的位移，然后再乘以，即可求得質(zhì)點(diǎn)的振幅A。由上式可知，值與值越接近，

4、

5、越大。為了減小質(zhì)點(diǎn)的振幅，應(yīng)使值盡量遠(yuǎn)離值。當(dāng)＞時(shí)，應(yīng)設(shè)法增大結(jié)構(gòu)的自振頻率(增大結(jié)構(gòu)剛度或減小質(zhì)量)；當(dāng)＜時(shí)，應(yīng)設(shè)法減小結(jié)構(gòu)的自振頻率(減小結(jié)構(gòu)剛度或增大質(zhì)量)。值得指出，對(duì)于干擾力作用在質(zhì)點(diǎn)上的單自由

6、度體系，它所承受的干擾力和慣性力的作用線重合，可以合并為一個(gè)外力，所以各截面的內(nèi)力和位移均與質(zhì)點(diǎn)的位移成正比，不僅是質(zhì)點(diǎn)位移的動(dòng)力系數(shù)，同時(shí)也是各截面內(nèi)力和位移的動(dòng)力系數(shù)?？梢钥闯觯?dāng)＜時(shí)，為正值。又從右式可知，此時(shí)y(t)與P(t)的方向恒相同(稱(chēng)為同相位)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最下(或上)端與干擾力向下(或上)達(dá)到最大值是同時(shí)發(fā)生的。而當(dāng)＞時(shí)，β則為負(fù)值，根據(jù)右式有與干擾力P(t)=Psin比較可以看出，強(qiáng)迫振動(dòng)的相位()與干擾力的相位正好相差。即y(t)與P(t)的方向恒相反，當(dāng)干擾力向下(或上)達(dá)到最大值時(shí)則質(zhì)點(diǎn)正好運(yùn)動(dòng)到最上(或下)端。由于振動(dòng)時(shí)質(zhì)

7、點(diǎn)是上下往返運(yùn)動(dòng)，值的正負(fù)對(duì)動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算無(wú)實(shí)際意義，需要的是它的絕對(duì)值。3.討論與的變化曲線(1)<<時(shí),.當(dāng)時(shí),,這表明當(dāng)簡(jiǎn)諧荷載的周期T=為結(jié)構(gòu)自振周期的五倍以上時(shí)，可將其視為靜力荷載。(2)0＜＜1時(shí)，值隨的增大而增大，動(dòng)力系數(shù)＞1。(3)=1時(shí)，=。這表明當(dāng)干擾力的頻率與自振頻率相等時(shí)，動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力都將無(wú)限增大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。雖然實(shí)際上由于阻尼的存在，共振時(shí)不會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力反應(yīng)無(wú)限大的情況，但共振時(shí)結(jié)構(gòu)各種反應(yīng)都比相應(yīng)的靜力反應(yīng)大很多倍，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免共振。＞1時(shí)，

8、

9、值隨的增大而減小。當(dāng)＞＞時(shí)，

10、

11、，即干擾力的頻率很大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)只在

12、靜平衡位置附近作極微小的振動(dòng)。三.考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)回顧式取第三項(xiàng)，并令則有式中A為有阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅；是位移與荷載之間的相位差，表明質(zhì)點(diǎn)位移y(t)與荷載不同步，它們之間相差一個(gè)角，當(dāng)干擾力為最大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移并不是最大值。不同步的原因是阻尼力，它不與位移成比例。由式(g)得振幅相位差以代入上式，則振幅A可寫(xiě)為振幅動(dòng)力系數(shù)可見(jiàn)動(dòng)力系數(shù)不僅與和比值有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)。對(duì)于不同的值，可繪出相應(yīng)的與之間的關(guān)系曲線，如圖所示。從該圖可以看出，阻尼比對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響，與頻率比值有關(guān)。工程中一般將0.75＜＜1.25的區(qū)域稱(chēng)為共振區(qū)，在共振區(qū)內(nèi)，

13、阻尼比對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響明顯，阻尼力大大減小了強(qiáng)迫振動(dòng)的位移，應(yīng)考慮阻尼的影響。但在共振區(qū)外，對(duì)的影響很小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。當(dāng)=1時(shí)的動(dòng)力系數(shù)為但的最大值并不發(fā)生在=1處。利用式(11-36)，由可知，發(fā)生在=處,即但通常值很小，故計(jì)算時(shí)可近似地將=1時(shí)的值作為最大值。下面由相位差的變化來(lái)分析振動(dòng)時(shí)諸力的平衡關(guān)系。由下式可知：(1)當(dāng)時(shí)，由式(11-32)可知，位移y(t)與P(t)同步。此時(shí)體系振動(dòng)很慢，慣性力和阻尼力都很小，故動(dòng)荷載主要由彈性力與之平衡。(2)當(dāng)時(shí)，。此時(shí)體系振動(dòng)很快，慣性力很大，彈性力和阻尼力相對(duì)比較小，動(dòng)荷載主要與慣性力平衡。

14、(3)當(dāng)時(shí)，。說(shuō)明位移落后于荷載P(t)約90°，即荷載為最大時(shí)，位移和加速度都接近于零，因而彈性力和慣性力都接近于零，動(dòng)