空間圖形的基本關(guān)系及公理

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1、§4.2空間圖形的公理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系。能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示2.識(shí)記空間公理1-3.并能用符號(hào)語(yǔ)言以條件，結(jié)論的方式書寫公理3.了解公理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。觀察空間長(zhǎng)方體，說(shuō)說(shuō)空間點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與面的位置關(guān)系CB'C'A'D'BAD閱讀課本，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這些關(guān)系？觀察思考例題例1如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.ABβαal(1)abPlβα(2)解：1）A??，B??，???=l，a??=A，a??=B2)a??,b??,???=l,a?l=P,b?l=P,a?b=P閱讀思考1.什么叫公理？我們初中幾何中學(xué)過(guò)哪些公理？2.公

2、理一的內(nèi)容是什么？生活中那些現(xiàn)象可以用公理一解釋？能否用圖形語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言敘述公理？3.公理一的作用是什么？公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).圖形語(yǔ)言表述:條件：線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，結(jié)論：線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；ABαa符號(hào)語(yǔ)言表述:A∈a,　B∈a,A∈α,Ｂ∈α，a≠α作用：說(shuō)明線在面內(nèi)，或點(diǎn)在面內(nèi)閱讀思考1.公理二的內(nèi)容是什么？生活中那些現(xiàn)象可以用公理二解釋？能否用圖形語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言敘述公理？2.公理二的作用是什么？問(wèn)題我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線，那么怎樣確定一個(gè)平面呢？公理２：經(jīng)過(guò)不在同一條直

3、線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即可以確定一個(gè)平面）圖形語(yǔ)言表述:ABαＣ符號(hào)語(yǔ)言表述：Ａ．Ｂ．Ｃ三點(diǎn)不共線　有且只有一個(gè)平面α，使Ａ∈α，Ｂ∈α，Ｃ∈α認(rèn)識(shí):(1)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，兩點(diǎn)或在同一直線上的三點(diǎn)可有無(wú)數(shù)個(gè)平面．(2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：1、經(jīng)過(guò)一條直線和這條線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面嗎？2、經(jīng)過(guò)兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面嗎？3、經(jīng)過(guò)兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面嗎？思考交流注意：公理二及其推論可用來(lái)確定平面。1．兩個(gè)平面重合的條件是（????）A．有兩個(gè)公共點(diǎn)B．有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)C．存在不共線的三個(gè)公共點(diǎn)D．有一條公共直線鞏固練習(xí)：2．下列命題中，

4、真命題是（）A．空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形D．和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)c3．空間有四個(gè)點(diǎn)，其中無(wú)三點(diǎn)共線，可確定__________個(gè)平面．一個(gè)或四個(gè)D閱讀思考1.公理三的內(nèi)容是什么，請(qǐng)用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述公理？2.公理三的作用是什么？公理３如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線．條件：兩面共一點(diǎn)，結(jié)論：兩面共一線．a(chǎn)αβP符號(hào)語(yǔ)言表示：作用（1）它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線；（2

5、）它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上。例1.已知：在平面外，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.證明：（公理2）同理可證：點(diǎn)評(píng)：證明點(diǎn)共線——證明這些點(diǎn)同時(shí)在兩相交平面的交線上ABCPRQ閱讀思考1.敘述公理四的內(nèi)容2.空間兩條直線的位置關(guān)系有哪些？3.什么是異面直線？baab16例2如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)若AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?FGDAEBCH17例3.如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體，那么A

6、B，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對(duì)?FAHGEDCBCDBAEFGH在平面內(nèi),如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(如圖1,AO∥A/O/,BC∥B/O/,∠AOB和∠A/O/B/相等,∠AOC和∠A/O/B/互補(bǔ))A/O/B/ABOC定理:空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).βA/B/O/αAOBC符號(hào)語(yǔ)言表示：若AO∥A/O/,BC∥B/O/,則∠AOB=∠A/O/B/；或∠AOC+∠A/O/B/=180°。思考1、正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面A1BD=M，求作點(diǎn)M。本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化

7、的思想，將在空間難以把握的線面交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的線線交點(diǎn)，確定了交點(diǎn)的位置。ADCBC1B1A1D1思考2：求作下列截面：ADCBC1B1A1D1(1)正方體ABCD—A1B1C1D1中，M,N分別是棱的中點(diǎn)，是做出平面DMN和平面A1B1C1D1的交線，試畫出過(guò)D，M，N的平面截得正方體的截面形狀。(2)正方體ABCD—A1B1C1D1中，試畫出過(guò)其中三條棱的中點(diǎn)P,Q,R的平面截得正方體的截面形狀。