空間點、線、面之間的位置關(guān)系

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1、空間點、線、面之間的位置關(guān)系【知識梳理】1．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的___兩點_____在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過__這個公共點___的一條直線．公理3：經(jīng)過______不在同一條直線上______________的三點，有且只有一個平面．推論1：經(jīng)過_____一條直線和這條直線外的一點_______________，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過___兩條相交直線_____________，有且只有一個平面．推論

2、3：經(jīng)過____兩條平行直線____________，有且只有一個平面．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線判定定理過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)______________的直線是異面直線．(3)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角．②范圍：____________.答案：(1)平行　相交　(2)不經(jīng)過該點　(3)①銳角或直角?、凇?.同一條直線　4.相等3．公理4平行于

3、______同一條直線______的兩條直線互相平行．4．定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角___相等_____．【自我檢測】1．若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是平行、相交或異面．2．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線____24____對．3．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為___4,6,7,8_____．4．(2010·全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異

4、面直線BA1與AC1所成角的大小為__60°______．將直三棱柱ABC—A1B1C1補(bǔ)成如圖所示的幾何體．由已知易知：該幾何體為正方體．連結(jié)C1D，則C1D∥BA1.∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補(bǔ)角)，在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60°.5．下列命題：①空間不同三點確定一個平面；8②有三個公共點的兩個平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同一直線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對邊相等的

5、四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是____④____(填序號).【例題分析】例1、如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連結(jié)EH.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點．(1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠G

6、H，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點．變式1　如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O.求證：B、D、O三點共線．證明　∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可證O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，∴B、D、O三點共線．例2、如圖所示，直線a、b是異面

7、直線，A、B兩點在直線a上，C、D兩點在直線b上．求證：BD和AC是異面直線．證明兩直線為異面直線的方法：1．定義法(不易操作)．2．反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．83．判定定理．證明　假設(shè)BD和AC不是異面直線，則BD和AC共面，設(shè)它們共面于α.∴A、B、C、D∈α，∴AB、CD?α，即a、b?α.這與a、b是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立．∴BD和AC是異面直線．變式2如圖是正方體或四面體，P、Q、R、

8、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的是___④____(填序號)．例3、(2009·全國Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為____