7.2空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

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1、2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：7.2空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系一、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（一）異面直線的判定※相關(guān)鏈接※證明兩直線為異面直線的方法：1、定義法（不易操作）2、反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到。3、客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面處一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖：※例題解析※〖例〗如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)。問：（

2、1）AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由（2）思路解析：（1）易證MN//AC，∴AM與CN不異面。（2）由圖易判斷D1B和CC1是異面直線，證明時(shí)常用反證法。解答：（1）不是異面直線。理由：連接MN、A1C1、AC?！進(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴MN//A1C1，又∵A1ACC1，∴A1ACC1為平行四邊形?！郃1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線。（2）是異面直線。證明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴B、C、C1、D1不共面。假設(shè)D1B與

3、CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾?！嗉僭O(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線（二）平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用※相關(guān)鏈接※1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用（1）公理1：可用來(lái)證明點(diǎn)在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi)（2）公理2：可用來(lái)確定一個(gè)平面，為平面化作準(zhǔn)備或用來(lái)證明點(diǎn)線共面；（3）公理3：可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線，或證明三點(diǎn)共線，三線共點(diǎn)。2、平行公理主要用來(lái)證明空間中線線平行。3、公理2的推論：（1）經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有

4、一個(gè)平面；（3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。4、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面（1）點(diǎn)共線問題證明空間點(diǎn)共線問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上。（2）線共點(diǎn)問題證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上。（3）證明點(diǎn)線共面的常用方法①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合?！}解析※〖例〗如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD

5、=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)。（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？思路解析：（1）G、H為中點(diǎn)GHAD，又BCADGHBC；（2）方法一：證明D點(diǎn)在EF、GJ確定的平面內(nèi)。方法二：延長(zhǎng)FE、DC分別與AB交于M，，可證M與重合，從而FE與DC相交。解答：（1）（2）方法一：方法二：如圖，延長(zhǎng)FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，，∵BEAF，∴B為MA中點(diǎn)?！連CAD，∴B為中點(diǎn)，∴M與重合，即FE與DC交于點(diǎn)M（），∴C、D、F、E四點(diǎn)共面。（三）異面直線所成的角〖例〗空間四邊形AB

6、CD中，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小。思路解析：要求EF與AB所成的角，可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過E或F作AB的平行線。取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個(gè)三角形中求解。解答：取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的補(bǔ)角）為EF與AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的補(bǔ)角）為ＡＢ與ＣＤ所成的角?！撸粒屡cCD所成的角為300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG為等腰三角形，

7、當(dāng)∠ＥＧＦ=300時(shí)，∠GEF=750；當(dāng)∠ＥＧＦ=1500時(shí)，∠GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750。注：（1）求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交。平移直線的方法有：①直接平移②中位線平移③補(bǔ)形平移；（2）求異面直線所成角的步驟：①作：通過作平行線，得到相交直線；②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；③求：通過解三角形，求出該角。二、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（一）直線與平面平行的判定※相關(guān)鏈接※判定直線與平面平行，主要有三種方法：（1）利用定義（常用反

8、證法）；（2）利用判定定