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1、復變函數(shù)論多媒體教學課件DepartmentofMathematics第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式一、泰勒定理其中1定理4.14且展式是惟一的.積分形式微分形式證明由柯西積分公式,有由于.K.內(nèi)任意點故下證唯一性,設另有展式由定理4.13知故展式唯一.由z的任意性，定理前半部分得證。注:顯然(4.8)的收斂半徑大于或等于R.2定義4.6泰勒展開式泰勒級數(shù)3刻劃解析函數(shù)的第四個等價定理定理4.15注二冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況定理4.16證明由有限覆蓋定理,我們可以在這些圓O中選取有限個圓將C
2、覆蓋,這有限個圓構(gòu)成一個區(qū)域G,這與假設相矛盾.注1:該定理給出了確定收斂半徑R的方法.例1解它們是和函數(shù)的兩個奇點,故知收斂半徑為注2:即使冪級數(shù)在其收斂圓上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個奇點.例注3該定理一方面建立了冪級數(shù)的收斂半徑與此冪數(shù)所代表函數(shù)的性質(zhì)間的關系,同時,還表明冪級數(shù)的理論只有在復數(shù)域內(nèi)才能弄得完全明白.如在實數(shù)域內(nèi)無法弄清,但在復數(shù)域上來講三、一些初等函數(shù)的泰勒展式常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒定理計算系數(shù)例1故有解仿照上例,2.間接展開法:借助于
3、一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導,積分等)和其它數(shù)學技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點:不需要求各階導數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.例2解由等比級數(shù)的求和公式有注:從上式有例3解而因為所以附:常見函數(shù)的泰勒展開式例4解3、典型例題上式兩邊逐項求導,例5分析如圖,解即將展開式兩端沿C逐項積分,得例6解例7解取主值支按復合函數(shù)求導法則得連續(xù)求導得得Taylor系數(shù)為例8解所以故其Cauchy積也絕對收斂,因為例9解因為所以,把
4、級數(shù)按升冪排列,用直式做除法得例10解例11解小結(jié)通過本課的學習,應理解泰勒展開定理,熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù).作業(yè)P178習題(一)5(2)(5),7(1)(3)本節(jié)結(jié)束謝謝！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics
