資源描述：
《解析函數(shù)的泰勒展式課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式1.泰勒定理2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況3.一些初等函數(shù)的泰勒展式第十五講在數(shù)學(xué)分析中函數(shù)是大家非常熟悉的。這是為什么？在實(shí)數(shù)域內(nèi)無(wú)法弄清,而在復(fù)數(shù)域中注意到f(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域有任意階導(dǎo)數(shù)，而上式右邊的冪級(jí)數(shù)僅在（-1，1）內(nèi)收斂。一、泰勒定理其中定理4.14且展式是惟一的.積分形式微分形式證明由柯西積分公式,有由于.K.內(nèi)任意點(diǎn)故下證唯一性,設(shè)另有展式由定理4.13知故展式唯一.由z的任意性，定理前半部分得證。注:顯然(4.8)的收斂半徑大于或等于R.定義4.6泰勒展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)刻劃解析函數(shù)的第四個(gè)等價(jià)定理定理4.15注二、冪
2、級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況定理4.16證明由有限覆蓋定理,CaRρ這與假設(shè)相矛盾.注1該定理給出了確定收斂半徑R的方法.例1解它們是和函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn),故知收斂圓為注2即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn).例注3該定理一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪數(shù)所代表函數(shù)的性質(zhì)間的關(guān)系,同時(shí)解決了一開(kāi)始提出的問(wèn)題,因?yàn)楝F(xiàn)在我們弄清楚了還表明冪級(jí)數(shù)的理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才能弄得完全明白.三、一些初等函數(shù)的泰勒展式常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒定理計(jì)算系數(shù)例1故有解仿照上例,2.間接展開(kāi)法:借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函
3、數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.例2解由等比級(jí)數(shù)的求和公式有注:從上式有例3解而因?yàn)樗愿?常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例4解3、典型例題上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例5分析如圖,解即將展開(kāi)式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得例6解例7解取主值支按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得連續(xù)求導(dǎo)得得Taylor系數(shù)為例8解法一所以故其Cauchy積也絕對(duì)收斂,因?yàn)榻夥ǘ?解例10解小結(jié)通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的
4、方法,能比較熟練地把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).作業(yè)P178習(xí)題(一)5(2)(5),7(1)(3)
