復(fù)變函數(shù)課件 4.3 泰勒展式.ppt

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1、復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件第四章第三節(jié)泰勒展式定理4.1：定理4.1設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤(pán)在內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，定理4.1的證明：證明：在U內(nèi)任取一點(diǎn)z。以z0為心，在U內(nèi)作一個(gè)圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。我們有由于當(dāng)時(shí)，又因?yàn)槎ɡ?.1的證明：所以上式的級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)一致收斂。把上面的展開(kāi)式代入積分中，然后利用一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，得定理4.1的證明：其中由于z是U內(nèi)任意一點(diǎn)，定理的結(jié)論成立。定理4.2：定理4.2、函數(shù)f(z)在一點(diǎn)z0解析的必要與充分條件是：它在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定理4.1中的冪級(jí)數(shù)展式。注解1、在定理4.1中，f(z)在U內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)

2、的泰勒展式。注解2、我們得到一個(gè)函數(shù)解析的另外一個(gè)刻畫(huà)。注解3、泰勒展式中的系數(shù)與z0有關(guān)。系4.1、系4.1冪級(jí)數(shù)是它的和函數(shù)f(z)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即系4.2、因此，我們有解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的唯一性定理：系4.2在定理4.1中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種形式的冪級(jí)數(shù)。注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。例1、求函數(shù)在z=0的泰勒展式。解：由于所以因此例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式解：已給解析分支在z=0的值為0，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為1，二階導(dǎo)數(shù)為-1

3、，n階導(dǎo)數(shù)為例2、因此，它在z=0或在

4、z

5、<1的泰勒展式是：其收斂半徑1。例3、求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中a不是整數(shù)），解：已給解析分支在z=0的值為1，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為a，二階導(dǎo)數(shù)為a(a-1)，n階導(dǎo)數(shù)為a(a-1)…(a-n+1)因此，它在z=0或在

6、z

7、<1的泰勒展式是：例3、其中其收斂半徑為1。注解、這是二項(xiàng)式定理的推廣，對(duì)a為整數(shù)的情況也成立。例4、函數(shù)secz在內(nèi)解析，求它在這個(gè)園盤(pán)內(nèi)的泰勒展式。解：我們利用冪級(jí)數(shù)的唯一性和除法來(lái)求它的泰勒展式，設(shè)但是，我們有例4、因此，故可以通過(guò)比較系數(shù)法或直接除法確定這些系數(shù)，可以得

8、到解析函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)函數(shù)f(z)在z0的鄰域U內(nèi)解析，并且那么稱z0為f(z)的零點(diǎn)。設(shè)f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：現(xiàn)在可能有下列兩種情形：（1）如果當(dāng)n=1,2,3,…時(shí)，那么f(z)在U內(nèi)恒等于零。解析函數(shù)的零點(diǎn)（2）如果不全為零，并且對(duì)于正整數(shù)m，而對(duì)于n1，我們說(shuō)z0是f(z)的單零點(diǎn)或m階零點(diǎn)。如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個(gè)m階零點(diǎn)，那么顯然在它的一個(gè)鄰域U內(nèi)其中在U內(nèi)解析。解析函數(shù)的零點(diǎn)定理5.1設(shè)函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個(gè)零點(diǎn)，那么或者f(z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)恒等于

9、零，或者存在著z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點(diǎn)。因此存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，。于是換而言之，存在著z0的一個(gè)鄰域，其中z0是f(z)的唯一零點(diǎn)。注解：此性質(zhì)我們稱為解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性。解析函數(shù)的唯一性我們知道，已知一般有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的單實(shí)變或多實(shí)變函數(shù)在它的定義范圍內(nèi)某一部分的函數(shù)值，完全不能斷定同一個(gè)函數(shù)在其他部分的函數(shù)值。解析函數(shù)的情形和這不同：已知某一個(gè)解析函數(shù)在它區(qū)域內(nèi)某些部分的值，同一函數(shù)在這區(qū)域內(nèi)其他部分的值就可完全確定。引理6.1設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。如果f(z)在D內(nèi)的一個(gè)圓盤(pán)內(nèi)恒等于零，那么f(z)在D內(nèi)恒等于零

10、。引理6.1的證明：證明：設(shè)在D內(nèi)一個(gè)以為z0心的圓盤(pán)K0內(nèi)，我們只需證明在K0以外任一點(diǎn)用D內(nèi)的折線L連接z0與z’，存在著一個(gè)正數(shù)在L上依次取，而其他任意相鄰兩點(diǎn)的距離小于；使得L上任一點(diǎn)與區(qū)域D的邊界上任一點(diǎn)的距離大于引理6.1的證明：作每一點(diǎn)zj的鄰域顯然，當(dāng)j

11、恒等于零，那么f(z)的每個(gè)零點(diǎn)z0有一個(gè)鄰域，在z0其中是f(z)唯一的零點(diǎn)。定理6.2（解析函數(shù)的唯一性定理）設(shè)函數(shù)f(z)及g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)zk是D內(nèi)彼此不同的點(diǎn)(k=1,2,3,…)，并且點(diǎn)列{zk}在D內(nèi)有極限點(diǎn)。如果，那么在D內(nèi)，f(z)=g(z)。定理6.2的證明：證明：假定定理的結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然設(shè)z0是點(diǎn)列{zk}在D內(nèi)有極限點(diǎn)。由于F(z)在z0連續(xù)，可見(jiàn)可是這時(shí)找不到z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是F(z)唯一的零點(diǎn)，與解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性矛盾。例1、例1、在復(fù)平面解析、在

12、實(shí)數(shù)軸上等于sinx的函數(shù)只能是sinz.解：設(shè)f(z)在復(fù)平面解