復(fù)變函數(shù) 解析函數(shù)的泰勒展式課件.ppt

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1、定理4.14（泰勒定理）設(shè)　在區(qū)域內(nèi)解析，只要圓　　　　　　含于,則在　內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)泰勒展式其中系數(shù)泰勒系數(shù)且展式是唯一的。設(shè)函數(shù)f(z)在圓內(nèi)解析，那么在K內(nèi)，簡(jiǎn)單說(shuō)法：證證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式定理4.1的證明：由于當(dāng)時(shí)，又因?yàn)槎ɡ?.1的證明：所以上式的級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)一致收斂。把上面的展開(kāi)式代入積分中，然后利用一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，得定理4.1的證明：其中由于z是U內(nèi)任意一點(diǎn)，定理的結(jié)論成立。2．冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況定理4.16如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑且則在收斂圓周上至少有一奇點(diǎn)。即不可能有這樣的函數(shù)　　

2、　存在，它在內(nèi)與　　恒等，而在C上處處解析。3．一些初等函數(shù)的泰勒展式下面給出幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展式，它們的形式與數(shù)學(xué)分析中大家熟知的形式是一致的。如解因　　　　在　　　內(nèi)解析，故展開(kāi)后的冪級(jí)數(shù)在　　　　內(nèi)收斂。已知例４.３將　　　在展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。當(dāng)　　　　　時(shí)將兩式相乘得（按對(duì)角線方法）例4.5將　　　　　及展為的冪級(jí)數(shù)。解因同理兩式相加除以2兩式相減除以　　　得例4.6試將函數(shù)按　　　　　的冪展開(kāi)，并指明其收斂范圍。解第四節(jié)零點(diǎn)的孤立性與唯一性原理1.解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性定義4.7設(shè)在解析區(qū)域一點(diǎn)的值為零，則稱(chēng)為解析函數(shù)的零點(diǎn)稱(chēng)為

3、的級(jí)零點(diǎn)。若定理4.17不恒為零的解析函數(shù)　　　以　　為　　　級(jí)零點(diǎn)的充要條件為：其中　　　　　在點(diǎn)　　的鄰域內(nèi)解析，且證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。例4.7考察函數(shù)在原點(diǎn)　　　　的性質(zhì)。解顯然　　　　　在　　　　解析，且為的三級(jí)零點(diǎn)，因如在　　　　　　內(nèi)的解析函數(shù)　　　不恒為零，　　　為其零點(diǎn)，則必有　　的一個(gè)鄰域，使得　　　　　在其中無(wú)異于　　　的零點(diǎn)。（簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的。）定理4.20（唯一性定理）設(shè)（1）函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)解析；（2）內(nèi)又有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列，在其上和　　相等。則和在內(nèi)恒

4、等。例4.9設(shè)（1）　　　　　在區(qū)域　　內(nèi)解析；（2）在　　　　內(nèi)，試證：在　　內(nèi)或證若有　　　　使因　　　　在點(diǎn)　　　連續(xù)，故存在鄰域　　　　，使在　　　內(nèi)　　　　　恒為零。而由題設(shè)故必.由唯一性定理定理4.23（最大模原理）設(shè)　　　　　在區(qū)域　　內(nèi)解析，則　　　在　　　內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值，除非　　在內(nèi)恒等于常數(shù)。