復(fù)變函數(shù)課件--復(fù)變函數(shù)5泰勒級(jí)數(shù).ppt

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1、§3泰勒級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而

2、z-z0

3、=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周,它與它的內(nèi)部全含于D,把它記作K,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫(xiě)成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).q與積分變量z無(wú)關(guān),且0?q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使

4、f(z)

5、?M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱(chēng)為f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式,它右端的級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果

6、z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式在圓域

7、z-z0

8、

9、z-z0

10、

11、a-z0

12、.yz0ax任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.利用泰勒展開(kāi)式,我們可以直接通過(guò)計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),這被稱(chēng)作直接展開(kāi)法例如,求ez在z=0處的泰勒展開(kāi)式,由于(e

13、z)(n)=ez,(ez)(n)

14、z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+?.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開(kāi)式:除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來(lái)得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,此方法稱(chēng)為間接展開(kāi)法.例如sinz在z=0的泰勒展開(kāi)式也可以用間接展開(kāi)法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在

15、z

16、<1內(nèi)處處解析,所以可在

17、z

18、<1內(nèi)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).因?yàn)槔?把函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).例2求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的

19、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的,-1是它的奇點(diǎn),所以可在

20、z

21、<1展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy推論1：注：推論2：推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：推論4：例如：而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來(lái)看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)?i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開(kāi)式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問(wèn)題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范

22、圍內(nèi),展開(kāi)式的成立必須受

23、x

24、<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.§4洛朗級(jí)數(shù)一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示.但是這種情況在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對(duì)負(fù)冪項(xiàng),

25、如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當(dāng)

26、z-z0

27、>R1時(shí),即

28、z

29、

30、z-z0

31、

32、z-1

33、<1內(nèi)也可以展開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù):1Oxy定理設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<

34、z-z0

35、

36、域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2,K2的半徑R大于K1的半徑r,且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西積分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線C,則根據(jù)閉路變形原理,這兩個(gè)式子可用一個(gè)式子來(lái)表示:Cz0R1R2稱(chēng)為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1<

37、z-z0

38、

39、,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分