迭代法的建立與收斂性

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1、一.迭代法的建立與收斂性所以,?為f的根的充要條件是?為?的不動點?！?.2迭代法前者收斂：1.5;1.35721;1.33086;1.32588;1.32494;1.32476;1.32473;1.32472;1.32472;…后者發(fā)散:1.5;2.375;12.39;…問題：何時收斂？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=x????y=?(x)y=?(x)y=?(x)y=?(x)x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?2.收斂定理定理2.2.1(2)即xn收斂。(2.2.1)(3)(4)注1：L越小，收斂越快。由定理結(jié)論(3

2、)或(2.2.2)，只要前后兩次迭代值的差值足夠小，就可使近似值達到任意的精度。在實際計算中，一般用來控制迭代過程結(jié)束。注2：定理條件非必要條件，可將[a,b]縮小，定義局部收斂性：定義2.2.1若存在?的某?鄰域B?={x

3、

4、x??

5、??},使由?x0?B?開始的迭代都收斂,則稱迭代法具有局部收斂性。定理2.2.2設(shè)?(x)在?的某?鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且

6、?'(?)

7、<1，則迭代法xn+1=?(xn)具有局部收斂性。證明省略。3．編程停機判斷時，由（2.2.2）式知比較小，此時停機，（取定初值x0）計算，當由二.迭代法的收斂階(收斂速度)則稱xnp階

8、收斂,相應(yīng)的迭代法稱為p階方法.特別,p=1時叫線性收斂,此時要求00,使定義2.2.2:設(shè)定理2.2.3設(shè)?(x)在?的某鄰域內(nèi)有充分多階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則迭代法xn+1=?(xn)為p階收斂的充要條件是??(?)=??(?)=?=?(p-1)(?)=0，?(p)(?)?0.證明利用Taylor展開式（略）