重積分的概念及性質(zhì)(I)

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1、第9章重積分2重積分是定積分的推廣和發(fā)展.分割、取近似、求和、取極限.定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),而二重、三重積分的被積函數(shù)重積分有其廣泛的應(yīng)用.序言其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間.其積分域是一個平面有界是二元、三元函數(shù),和空間有界閉區(qū)域.3問題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)doubleintegral9.1二重積分的概念與性質(zhì)第9章重積分4一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的回想立體的體積、旋

2、轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.可作為二重積分的一個模型.?5曲頂柱體體積=1.曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以曲面z=f(x,y),且在D上連續(xù)).?頂是曲的頂是6柱體體積=特點分析?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對矛盾互相轉(zhuǎn)化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似.取近似、求和、取極限.底面積×高?7步驟如下用若干個先任意分割曲頂曲頂柱體的體積:并任取之和近似表示曲頂柱體的體積,柱體的底,小區(qū)域,小平頂柱體體積8(1)分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個小

3、曲頂柱體.(2)取近似第i個小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個子域的面積).將域D任意分為n個子域在每個子域內(nèi)任取一點9(3)求和即得曲頂柱體體積的近似值:(4)取極限作λ)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記上述和式的極限即為曲頂柱體體積102.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)將薄片分割成n個小塊,近似看作均勻薄片.(2)(3)(4)任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.上連續(xù),占有xOy面上的閉區(qū)域D,11也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義9.1作乘積并作和設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),將閉區(qū)域D任意分成n個小

4、閉域(1)(2)(3)12積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式趨近于零時,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值的極限存在,則二重積分,記為即稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的(4)13曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即在薄片D上的二重積分,14(2)在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中(1)重積分與定積分的區(qū)別:重積分中dx可正可負(fù).則面積元素為D152.二重積分的存在定理設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,相應(yīng)的積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)

5、函數(shù)時,則都假定被積函數(shù)在16(2)3.二重積分的幾何意義(3)(1)的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其他的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那么，f(x,y)在D上柱體體積的負(fù)值;柱體體積;當(dāng)f(x,y)在D上的若干部分區(qū)域上是正的,17例設(shè)D為圓域二重積分=解上述積分等于由二重積分的幾何意義可知,是上半球面上半球體的體積:RD?18性質(zhì)9.1(線性性質(zhì))為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì))三、二重積分的性質(zhì)根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值思考19性質(zhì)9.2(區(qū)域可加性)將區(qū)域D分為兩個子域OxyD1D2D1與D2除分界線外無公共點.D將區(qū)域

6、D分為兩個子域D1,D220以1為高的性質(zhì)9.3(幾何應(yīng)用)若為D的面積注既可看成是以D為底,柱體體積,又可看成是D的面積.21例的值=().(A)為正.(B)為負(fù).(C)等于0.(D)不能確定.為負(fù)B性質(zhì)9.4(正性)則22推論2(絕對可積性)推論1(單調(diào)性)則若f(x,y)可積,保序性比較性則

7、f(x,y)

8、可積,且有23選擇題比較(D)無法比較.oxy1??1?2C(2,1)?單調(diào)性的大小,則()24練習(xí)則由于所以考研數(shù)學(xué)(三,四)(4分)單調(diào)性則25幾何意義以m為高和以M為高的兩個證再用性質(zhì)9.1和性質(zhì)9.3,性質(zhì)9.5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以

9、D為底,平頂柱體體積之間.證畢.M、m為f(x,y)在D上的最大、最小值,26解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上,因為例所以,即,27性質(zhì)9.6(積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證(使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)9.5中不等式各除以有為D的面積)28f(x,y)的最大值M與最小值m之間的.由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點的值證畢.即是說,確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點使得函數(shù)在該與這個確定的數(shù)值相等,即29選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B設(shè)f(x,y