定積分的概念及性質(zhì)(I)

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1、第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)第五章教學(xué)目的與要求：理解定積分的概念了解定積分的幾何意義重點(diǎn)：定積分的概念一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為解決步驟小結(jié):1)分割(大化小)：在區(qū)間[a,

2、b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;2)以直代曲：(常代變)在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3)求和(近似和)：.4)取極限.令則曲邊梯形面積元素法1分割(化整為零)2以直代曲(以常代變)3求和(積零為整)yxoy=f(x)ab..分法越細(xì)，越接近精確值◇曲邊梯形的面積f(?i).元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無(wú)限變細(xì).ab...分法越細(xì)，越接近精確值1分割(化整為零)2以直代曲(以常代變)3求和(積零為整)◇曲邊梯形的面積.f(?i)元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無(wú)限變細(xì)..

3、分法越細(xì)，越接近精確值1分割(化整為零)2以直代曲(以常代變)3求和(積零為整)◇曲邊梯形的面積f(?i)Sab...S=..2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.已知速度思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．解決步驟:1)分割(大化小).將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)以直代曲(常代變).得n個(gè)小段過(guò)的路程為3)求和(近似和).4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割(大化小),以直代曲(常代變),求和(近似和)

4、,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限二、定積分的定義1.定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意：定理1定理22.可積的充分條件:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值3、定積分的幾何意義各部分面積的代數(shù)和幾何意義：例1利用定義計(jì)算定積分解[注]利用得兩端分別相加,得即例2利用定義計(jì)算定積分解例3.用定積分表示下列極限:解:說(shuō)明:根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.證明利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得極限

5、運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得故對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說(shuō)明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小．1、基本內(nèi)容三、定積分的性質(zhì)證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.例若性質(zhì)3（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則證性質(zhì)4性質(zhì)5解令于是性質(zhì)5的推論：證（1）證說(shuō)明：可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6解解例4.試證:證:設(shè)則在上,有即故即證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：說(shuō)明:可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

6、積分中值定理對(duì)因例5.計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度解由積分中值定理知有使五、小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4．典型問(wèn)題（１）估計(jì)積分值；（２）不計(jì)算定積分比較積分大?。伎碱}1將和式極限：表示成定積分.思考題1解答原式思考題2思考題2解答例3.P233題34.P233題8(2),(4)題8(4)解:設(shè)則即練習(xí)題1練習(xí)題1答案練習(xí)題2練習(xí)題2答案觀察下列演示過(guò)程，注

7、意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形