定積分的概念及性質(zhì)

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1、51定積分的概念及性質(zhì)摘要：(3)定積分是一個(gè)數(shù),不定積分是一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)的全體.因此,定積分和不定積分是兩個(gè)完全不同的概念.4.布置作業(yè)(略)5.2微積分基本定理...關(guān)鍵詞：積分,微積分類別：專題技術(shù)來源：牛檔搜索（Niudown.COM）20　　本文系牛檔搜索（Niudown.COM）根據(jù)用戶的指令自動(dòng)搜索的結(jié)果，文中內(nèi)涉及到的資料均來自互聯(lián)網(wǎng)，用于學(xué)習(xí)交流經(jīng)驗(yàn)，作品其著作權(quán)歸原作者所有。不代表牛檔搜索（Niudown.COM）贊成本文的內(nèi)容或立場，牛檔搜索（Niudown.COM）不對(duì)其付相應(yīng)的法律責(zé)任！205.1定積分的概念及性質(zhì)教學(xué)目的理解定積

2、分的概念和性質(zhì),了解定積分的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)定積分的概念教學(xué)難點(diǎn)定積分概念的理解教學(xué)內(nèi)容1.復(fù)習(xí)不定積分的概念.2.講授新課2.1兩個(gè)引例引例1曲邊梯形的面積由連續(xù)曲線（）和及圍成的平面圖形稱為曲邊梯形（如圖5-1）．由于曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)間上是不斷變化的，因而它的面積不能由公式底×高求得.為了計(jì)算曲邊梯形的面積，我們可以先將它分割成若干個(gè)小曲邊梯形，在小曲邊梯形中的變化很小，可以用相應(yīng)的小矩形近似代替，用所有小矩形的面積之和近似代替整個(gè)曲邊梯形的面積.顯然，分割的越細(xì)，近似程度就越高，當(dāng)無限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確

3、值.根據(jù)以上分析，我們按下面的方法求曲邊梯形的面積.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且.在上任取個(gè)內(nèi)分點(diǎn)：，將區(qū)間分割為個(gè)小區(qū)間:圖1記每一小區(qū)間長度為，過分點(diǎn)作軸的垂線，將曲邊梯形分割為個(gè)小曲邊梯形；設(shè)表示第個(gè)小曲邊梯形的面積，則曲邊梯形20的面積為.在每個(gè)小區(qū)間上任意取一點(diǎn)，以為底邊，為高作小矩形，則小矩形的面積為，當(dāng)很小時(shí)，有若分點(diǎn)越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面積總和也就越接近于曲邊梯形的面積.即，此為曲邊梯形面積的近似值．若用來表示所有小區(qū)間中的最大區(qū)間長度，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)無限增大且趨于零時(shí)，該近似值就趨近于曲邊梯形的面積，即.我們把極限稱之為曲邊梯形

4、的面積．引例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)是連續(xù)變化的且大于零，考慮從時(shí)刻到時(shí)刻所走過的路程．我們?nèi)匀徊捎梅指畹姆椒ǎ海?）用分點(diǎn)：將時(shí)間區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間:，每個(gè)小區(qū)間的長度記為．（2）近似代替：在每一時(shí)間區(qū)間內(nèi)任取一時(shí)刻，則質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間區(qū)間走過的路程近似為，（3）求和：將每個(gè)時(shí)間區(qū)間上質(zhì)點(diǎn)所通過的路程的近似值累加起來，就得到時(shí)間區(qū)間上質(zhì)點(diǎn)所通過的路程的近似值，即（4）取極限：當(dāng)分點(diǎn)無限增加時(shí)，記小區(qū)間最大的一個(gè)長度為，當(dāng)時(shí)，則和式的極限就是質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到時(shí)刻的路程，即202.2定積分的定義以上兩個(gè)例子的實(shí)際意義不同，但處理問題的思想方法是相同的，最

5、后所得到的結(jié)果都?xì)w結(jié)為求和式的極限.數(shù)學(xué)上將這類和式的極限稱作為定積分.定義1　設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點(diǎn)將分成個(gè)小區(qū)間，記為區(qū)間長度，，并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得出乘積的和式若時(shí)，和式的極限存在，且此極限值與區(qū)間[]的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)在上的定積分，記為，即.(1)這里稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，叫積分變量，叫積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分上限.若在上的定積分存在，則說在上可積.根據(jù)定義，在上述例中的曲邊梯形的面積用定積分可以表示為；變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程可以表為：.關(guān)于定積分的定義，有以下說明：(1)定積分的值只與被積函數(shù)、

6、積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無關(guān).即.(2)定義中要求，若、時(shí)有如下規(guī)定：當(dāng)時(shí)，，即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào).20當(dāng)時(shí)，.在怎樣的條件下，在上的定積分一定存在呢？有下面的定理：定理1如果在上連續(xù)，則在上可積.定理2如果在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積.由此可知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是可積的.2.3定積分的幾何意義在討論曲邊梯形面積時(shí)，假定，曲邊梯形的圖形在軸的上方，則積分值是正的，即；若，圖形在軸的下方，則積分值是負(fù)的，即；若在上有正有負(fù)時(shí)，則積分值就表示曲線在軸上方和軸下方的面積的代數(shù)和.如圖2所示.例1用定積分表示圖中陰影部分的面

7、積.圖4解(1)；(2).圖3圖5例2利用定積分的幾何意義，說明的成立．解的幾何意義是由曲線，，圍成的圖形的面積，如圖5-5所示，求得面積為，故．2.4定積分的性質(zhì)20設(shè)、在區(qū)間上可積，則根據(jù)定義可推證定積分有以下的性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)2常數(shù)因子可直接提到積分符號(hào)前面..性質(zhì)3代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即.這一結(jié)論可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況.性質(zhì)4對(duì)任意的點(diǎn)，有.這一性質(zhì)稱為定積分的可加性，無論還是，性質(zhì)均成立性質(zhì)5如果在上有，則.特別地，當(dāng)時(shí)，.性質(zhì)6（估值定理）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為和，則.這是因?yàn)?，由性質(zhì)5得，再由性質(zhì)1和性質(zhì)2

8、即可得結(jié)論.性質(zhì)7(積分中值定理)設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，