定積分第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)

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1、第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)第五章一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線(xiàn)以及兩直線(xiàn)所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積abxyo觀(guān)察與思考在曲邊梯形內(nèi)擺滿(mǎn)小的矩形,當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí),小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?怎樣求曲邊梯形的面積?求曲邊梯形的面積(1)分割:a?x0

2、x{Dx1,Dx2,???,Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:曲邊梯形的面積近似為;2(求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程)思路:把整段時(shí)間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值.(1)分割部分路程值某時(shí)刻的速度(2)求和(3)取極限路程的精確值二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱(chēng)此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱(chēng)f(x)在[a,b]上可積.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),

3、即定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)(證明略)定積分存在的條件例1.用定積分表示下列極限:解:定積分的幾何意義abxyo圖5-1,,在上連續(xù),oyabx圖5-3既有正值又有負(fù)值時(shí),各部分面積的代數(shù)和利用幾何意義求定積分解函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.因?yàn)橐詙=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形是一個(gè)直角三角形,其底邊長(zhǎng)及高均為1,所以例2習(xí)題:利用定積分的幾何意義,說(shuō)明下列等式:41102p=-òdxx對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說(shuō)明在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限

4、的大小.三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2補(bǔ)充:不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.性質(zhì)3(定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性)性質(zhì)4性質(zhì)5推論1:(1)推論2:(2)解令于是證(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍)性質(zhì)6解證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7(定積分中值定理)積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋?zhuān)簝?nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解:或

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