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1、abxyo定積分問題情境:1.曲邊梯形面積問題;2.變速運動的距離問題.3.變力作功問題;我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數(shù)學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義它們都歸結為:分割、近似代替、求和、取極限定積分的概念定義其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b]叫做積分區(qū)間.關于定積分的概念，還應注意兩點:(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關，而與積分變量的記法無關.即有(2
2、)在定積分的定義中，總假設，為了今后的使用方便，對于時作如下規(guī)定：例1利用定義計算定積分解:如果在[a,b]上且連續(xù),此時由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分在幾何上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù).定積分的幾何意義：如果在[a,b]上且連續(xù)，則在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.axbaxb如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.xy=f(x)a
3、boyA4A3A2A11.由曲線y=x2+1與直線x=1,x=3及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分表示為____________.2.中,積分上限是___,積分下限是___,積分區(qū)間是______舉例2-2[-2,2]3.定積分=__________.8例3.求下列定積分:(1)例題分析:(2)求定積分，只要理解被積函數(shù)和定積分的意義，并作出圖形，即可解決。用定積分表示下列陰影部分面積S=______;S=______;S=______;XOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosxy=sinxXOy性質1兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等
4、于它們定積分的代數(shù)和，即定積分的基本性質設下面函數(shù)f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可積.推論有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即如果積分區(qū)間[a,b]被分點c分成區(qū)間[a,c]和[c,b],則性質3性質3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質可以用于求分段函數(shù)的定積分.當c在區(qū)間[a,b]之外時，上面表達式也成立.性質2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外.利用定積分的幾何意義，可分別求出例1解性質4性質5推論1推論2性質6(估值定理)證明例2解性質7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上
5、連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點，使下式成立證明因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質6，有即數(shù)值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之間.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,至少存在一點,使得即性質7的幾何意義：在上至少存在一點,使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的矩形的面積.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某時自0至24時天氣溫度曲線為f(t)
6、,t為時間，則表示該地、該日的平均氣溫.如已知某河流在某處截面上各點的水深為h(x),(a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流在該截面處的平均水深為.
