定積分的性質(zhì)

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1、§4定積分的性質(zhì)教學(xué)目的與要求：1.理解并掌握定積分的性質(zhì)極其證明方法.2.逐步學(xué)會應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問題.教學(xué)重點，難點：1.定積分的性質(zhì)極其證明方法.2.應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問題.教學(xué)內(nèi)容：一定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1若f在[a,b]上可積，k為常數(shù)，則kf在[a,b]上也可積，且.　　　　　　　　　　?。?）證當(dāng)k=0時結(jié)綸顯然成立.當(dāng)k時,由于其中J=因此當(dāng)f在[a,b]上可積時,由定義,任給　　　從而　　　即kf在［a,b］上可積，且　性質(zhì)２　若f﹑g都在［a,b］可積，則f在［a,b］上也可積，且　　　　　?。?）證明與性質(zhì)１類同。注1性質(zhì)１與性質(zhì)２是定積分

2、的線性性質(zhì)，合起來即為　　　其中a﹑為常數(shù)。注2在f，g，h=f+g(或f-g)三個函數(shù)中，只要有任意兩個在[a,b]上可積，則另外一個在[a,b]上可積.在f，g，h=f+g(或f-g)三個函數(shù)中，只要有一個在[a,b]上可積，一個在[a,b]上不可積，則另外一個在[a,b]上必不可積.性質(zhì)３若f﹑g都在［a,b］上可積，則f·g在［a,b］上也可積。證　由f、g都在［a,b］上可積，從而都有界，設(shè)　　　　　　　?。粒健。虑遥粒荆?，Ｂ＞０（否則f、g中至少有一個恒為零值函數(shù)，于是f、g亦為零值函數(shù)，結(jié)論顯然成立）。任給由f、g可積，必分別存在分割、，使得　　　　　令（表示把、的所有分割點合

3、并而成的一個新的分割T）。對于[a,b]上T所屬的每一個，有利用§3習(xí)題第1題，可知這就證得f·g在[a,b]上可積.注在一般情形下.思考：有沒有相除后可積的性質(zhì)？若f﹑g都在［a,b］上可積，

4、f(x)

5、m>0,x[a,b],則在[a,b]上可積.事實上，由條件可證在[a,b]上可積(本節(jié)習(xí)題第7題).再由性質(zhì)3知在[a,b]上可積.性質(zhì)4f在[a,b]上可積的充要條件是：任給，在[a,c]與[c,b]上都可積。此時又有等式（3）證[充分性]由于f在[a,c]與[c,b]上都可積，故任給分別存在對[a,c]與[c,b]的分割，使得現(xiàn)令它是[a,b]的一個分割,且有由此證得f在[a,b]上可

6、積.[必要性]已知f在[a,b]上可積,故任給存在對[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一個分點C,得到一個新的分割由§3習(xí)題第一題,又有分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分別構(gòu)成對[a,c]和[c,b]的分割,記為,則有這就證得f在[a,b]和[b,c]上都可積.在證得上面結(jié)果的基礎(chǔ)上最后來證明等式(3).為此對[a,b]作分割T,恒使點C為其中的一個分點,這時T在[a,c]與[c,b]上的部分各自構(gòu)成對[a,c]與[c,b]的分割,分別記為.由于因此當(dāng)時,對上式取極限,就得到(3)式成立.注性質(zhì)4及公式(3)稱為關(guān)于積分區(qū)間的可加性.當(dāng)時,(3)式的幾何意義就是曲邊梯形面積的可加性

7、.如圖9–10所示,曲邊梯形AabB的面積等于曲邊梯形AacC的面積與CcbB的面積之和.按定積分的定義,記號只有當(dāng)a＜b時才有意義,而當(dāng)a=b或a＞b時本來是沒有意義的.但為了運用上的方便,對它作如下規(guī)定:規(guī)定1當(dāng)a=b時，令規(guī)定2當(dāng)a＞b時，令有了這個規(guī)定之后，等式（3）對于a、b、c的任何大小順序都能成立。例如，當(dāng)a＜b＜c時，只要f在[a，c]上可積，則有=性質(zhì)5設(shè)f為[a，b]上的可積函數(shù)。若則（4）證由于在[a，b]上，因此f的任一積分和都為非負(fù)。由f在[a，b]上可積，則有□推論（積分不等式性）若f與g為[a，b]上的兩個可積函數(shù)，且[a，b]，則有（5）證令F[a，b]，由性

8、質(zhì)2知道F在[a，b]上可積，且由性質(zhì)5推得不等式（5）得證.性質(zhì)6若f在[a，b]上可積，則在[a，b]上也可積，，且（6）證由于f在[a，b]上可積，故任給ε＞0，存在某分割T，使得由絕對值不等式可得知于是有從而證得在[a,b]可積。再由不等式應(yīng)用性質(zhì)5（推論），即證得不等式（6）成立?！踝⑦@個性質(zhì)的逆命題一般不成立，例如在[0，1]上不可積（類似于狄利克雷函數(shù)）；但它在[0，1]上可積。例1求其中解對于分段函數(shù)的定積分，通常利用積分區(qū)間可加性來計算，即注1上述解法中取其中被積函數(shù)在x=0處的值已由原來的由§3習(xí)題第3題知道這一改動并不影響f在[-1，0]上的可積性和定積分的值。注2如果

9、要求直接在[-1，1]上使用牛頓一菜布尼茨公式來計算這時F（x）應(yīng)取怎樣的函數(shù)？讀者可對照§2習(xí)題第3題來回答。例2證明：若f在[a,b]上連續(xù)，且證用反證法。倘若有某x0∈[a,b]使f則由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在的某鄰域，使在其中由性質(zhì)4和性質(zhì)5推知這與假設(shè)相矛盾。所以?！踝拇死C明中看到，即使f為一非負(fù)可積函數(shù)，只要它在某一點處連續(xù)，且則必有（至于可積函數(shù)必有連續(xù)點，這是一個較難證明的命題，讀者可參