定積分概念、性質(zhì)

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1、定積分的概念微積分基本公式17世紀(jì)，從實(shí)際需要中人們提出許多問(wèn)題，歸結(jié)起來(lái)有兩類(lèi)：速度問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)研究了事物變化的速度，定積分則研究相反的問(wèn)題：事物變化的累積和。如面積、路程、電量多少、變量作功等等。本章將重點(diǎn)學(xué)習(xí)定積分的概念、幾何意義及微積分基本定理。前言4.1定積分概念一、定積分的引入—曲邊梯形面積的求法注：此“面積”一定是以x軸為一邊的曲邊梯形；yxbaAy=f(x)例如：求曲線(xiàn)y=x2、直線(xiàn)x=0、x=1和y=0所圍成的面積？如圖所示此問(wèn)題的難點(diǎn)是圖形有一邊是曲的，如何求它的面積呢？研究此問(wèn)題的

2、基礎(chǔ)是已知矩形的面積公式S=長(zhǎng)*寬=a*b，那么研究方法是“無(wú)限細(xì)分，以直代曲”，將曲邊圖形分劃為若干個(gè)小矩形，用小矩形面積△Si矩近似代替小曲邊梯形面積△Si曲，即:xyy=x21A0如果右邊的和式有極限（n→∞），則極限值即為整個(gè)曲邊梯形的面積，即：如圖所示：1）將區(qū)間[0,1]n等分。其分點(diǎn)分別為：2）得n個(gè)小條形，每個(gè)小條形的寬均為高則分別取區(qū)間右端點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)的函數(shù)值3）相乘為第i個(gè)小矩形面積：xy0x2x3xn=1xn-1y=x2x0x14）第i個(gè)小曲邊梯形面積近似：5）曲邊梯形面積S

3、曲近似：xy010y=x2x01若取n=10容易發(fā)現(xiàn)n越大（即區(qū)間分得越細(xì)）則此面積誤差越小，6）直到用極限方法令n→∞，得曲邊梯形的精確值：總結(jié)：求曲邊梯形面積的步驟引例1——曲邊梯形的面積（演示）其中設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)速度引例2——變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程分割區(qū)間取近似值作和取極限（1）細(xì)分區(qū)間ti-1ti(2)取近似值（3）作和（4）取極限T1T2vt曲邊梯形面積A：變速運(yùn)動(dòng)的路程S：記為記為二、定積分的概念（演示）定積分定義如果當(dāng)最大的子區(qū)間的長(zhǎng)度時(shí)，此和式有極限，則此極限叫作f(x)在[a，b]上的定積分，記為：即

4、在定積分中其中“∫”為積分號(hào)（把字母s拉長(zhǎng)），a，b為積分下限和上限，即積分變量x的范圍：a≤x≤b，又叫積分區(qū)間；f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式。上例曲邊圖形的面積用定積分表示注意：據(jù)定義有如下說(shuō)明:(1)定積分是特殊和式極限,它是一個(gè)定數(shù);(2)定積分的大小僅與區(qū)間[a,b]和被積函數(shù)f(x)有關(guān)；(3)規(guī)定：1.若函數(shù)在上連續(xù)，2.若函數(shù)在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，三、定積分存在的充分條件則在上可積。則在上可積。有界是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可積的必要條件。表示曲線(xiàn)與x軸圍成的圖形面積的代數(shù)

5、和。表示曲線(xiàn)與x軸圍成的圖形面積。四、定積分的幾何意義（演示）abA1A2A3（1）（2）（2）若是奇函數(shù)，則（1）若是偶函數(shù)，則a-a五、定積分的幾何性質(zhì)-aa由定積分幾何意義可得：補(bǔ)充規(guī)定：abxx+dx定積分幾何意義的應(yīng)用14281730xy-33把區(qū)間分成n等份，每份長(zhǎng)，各分點(diǎn)是：解因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以存在例用定義求定積分=規(guī)定：abxx+dx六、定積分的基本性質(zhì)無(wú)論a,b,c的相對(duì)位置如何，（3）式均成立?？赏茝V至有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形。bca···acb···◆定積分的基本性質(zhì)..則有推論1設(shè)，對(duì)任意

6、òò≤babadxxgdxxf)()(（5）對(duì)任意)≥0，則有(xf.性質(zhì)6（介值定理）：設(shè)f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m，于是，由性質(zhì)5有.幾何意義也很明顯再根據(jù)閉區(qū)間上的聯(lián)系函數(shù)的介值定理可得如果變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程是S=S(t)，則在時(shí)間段[T1,T2]內(nèi)所發(fā)生的位移變化為S(T2)-S(T1)如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為V=V(t)，則由定積分可知連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量◆微積分基本公式而？微積分基本公式（一）——變上限的積分定理axb證明思路參見(jiàn)書(shū)例1例

7、2解：用分點(diǎn)0插分區(qū)間[x,-2x]例3例4設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任意一個(gè)原函數(shù)，則有微積分基本公式（二）——牛頓—萊布尼茲公式證明思路記作例2求下列定積分解因?yàn)樵谏线B續(xù)，是它的一個(gè)原函數(shù)所以或解原式幾何意義解原式幾何意義解原式解原式合理應(yīng)用對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算。解設(shè)，求分段函數(shù)的積分計(jì)算，應(yīng)分區(qū)間選取相應(yīng)的函數(shù)函數(shù)在x=1處間斷exit引例曲邊梯形的面積exit定積分的定義exit定積分的幾何意義exit估值定理exit積分中值定理牛頓-萊布尼茲公式返回若是奇函數(shù)，則若是偶函數(shù)，則a-

8、a◆定積分的幾何意義是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。-aa偶函數(shù)奇函數(shù)廣義積分*定義假設(shè)對(duì)在[a,b]有定義且可積，(1)對(duì)于[a,+∞]上的無(wú)窮積分如果存在，我們稱(chēng)收斂，且定義：否則，稱(chēng)發(fā)散。(2)對(duì)于[-∞，b]的無(wú)窮積分如果存在，我們稱(chēng)收斂，且定義：否則，稱(chēng)發(fā)散。廣義積分*（3）對(duì)于區(qū)間（-∞，+∞）的無(wú)窮積分如果=A+B.如果右邊每一個(gè)無(wú)窮積分都存在，我們稱(chēng)收斂，如果其中之一