定積分概念與性質(zhì)

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1、第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)教學目的：使學生了解定積分概念，掌握定積分的性質(zhì)。一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積曲邊梯形:設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù).由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.求曲邊梯形的面積的近似值:將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形,每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替,每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積,則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值.具體方法是:在區(qū)間[a,b]中任意插入若干個分點a=x0

2、x2<×××

3、)Dx1+f(x2)Dx2+×××+f(xn)Dxn.求曲邊梯形的面積的精確值:顯然,分點越多、每個小曲邊梯形越窄,所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值,因此,要求曲邊梯形面積A的精確值,只需無限地增加分點,使每個小曲邊梯形的寬度趨于零.記l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},于是,上述增加分點,使每個小曲邊梯形的寬度趨于零,相當于令l?0.所以曲邊梯形的面積為.2.變速直線運動的路程設物體作直線運動,已知速度v=v(t)是時間間隔[T1,T2]上t的連續(xù)函數(shù),且v(t)30,

4、計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S.求近似路程:我們把時間間隔[T1,T2]分成n個小的時間間隔Dti,在每個小的時間間隔Dti內(nèi),物體運動看成是均速的,其速度近似為物體在時間間隔Dti內(nèi)某點xi的速度v(ti),物體在時間間隔Dti內(nèi)運動的距離近似為DSi=v(ti)Dti.把物體在每一小的時間間隔Dti內(nèi)運動的距離加起來作為物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S的近似值.具體做法是:在時間間隔[T1,T2]內(nèi)任意插入若干個分點T1=t0

5、n個小段[t0,t1],[t1,t2],×××,[tn-1,tn],各小段時間的長依次為Dt1=t1-t0,Dt2=t2-t1,×××,Dtn=tn-tn-1.相應地,在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為DS1,DS2,×××,DSn.在時間間隔[ti-1,ti]上任取一個時刻ti(ti-1

6、似值,即;求精確值:記l=max{Dt1,Dt2,×××,Dtn},當l?0時,取上述和式的極限,即得變速直線運動的路程.設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù).求直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.(1)用分點a=x0

7、]為底的小曲邊梯形的面積可近似為(i=1,2,×××,n);所求曲邊梯形面積A的近似值為.(3)記l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},所以曲邊梯形面積的精確值為.設物體作直線運動,已知速度v=v(t)是時間間隔[T1,T2]上t的連續(xù)函數(shù),且v(t)30,計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S.(1)用分點T1=t0

8、n).(2)任取ti?[ti-1,ti],在時間段[ti-1,ti]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(ti)Dti(i=1,2,×××,n);所求路程S的近似值為.(3)記l=max{Dt1,Dt2,×××,Dtn},所求路程的精確值為.二、定積分定義拋開上述問題的具體意義,抓住它們在數(shù)量關系上共同的本質(zhì)與特性加以概括,就抽象出下述定積分的定義.定義設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插