定積分的概念與性質

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1、第五章定積分定積分和不定積分是積分學的兩個一種認識問題、分析問題、解決問題的definiteintegral不定積分側重于基本積分法的訓練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想—主要組成部分.思想方法.1第五章定積分基本要求理解定積分的定義和性質,微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.2第一節(jié)定積分的概念與性質定積分問題舉例定積分的定義關于函數的可積性定積分的幾何意義和物理意義小結思考題作業(yè)定積分定積分的性質***definiteintegral31.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實際問題求由連續(xù)曲線一、定積分問題

2、舉例抽象出來的,現(xiàn)舉兩例.定積分的概念與性質4用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質近似取代曲邊梯形面積5采取下列四個步驟來求面積A.(1)分割(2)取近似定積分的概念與性質長度為為高的小矩形,面積近似代替6(3)求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細,定積分的概念與性質極限值就是曲邊梯72.求變速直線運動的路程思想以不變代變設某物體作直線運動,已知速度是時間間隔的一個連續(xù)函數,求物體在這段時間內所經過的路程.思路把整段時間分割成若干小

3、段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．定積分的概念與性質8(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似定積分的概念與性質表示在時間區(qū)間內走過的路程.某時刻的速度9二、定積分的定義設函數f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定義若干個分點把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)上兩例共同點:2)方法一樣;1)量具有可加性,3)結果形式一樣.定積分的概念與性質10被積函數被積表達式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)

4、間上點怎樣的取法,只要當和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.定積分的概念與性質積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間11(2)的結構和上、下限,今后將經常利用定積分與變量記號無關性進行推理.定積分是一個數,定積分數值只依賴于被積函數定積分的概念與性質有關;注無關.而與積分變量的記號無關.12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值1.幾何意義定積分的概念與性質三、定積分的幾何意義和物理意義13幾何意義定積分的概念與性質各部分面積的代數和.取負號.它是介于x軸、函數f(x)的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的在x軸上方的面積取正號;在x軸下方的面積1

5、4例解2.物理意義t=b所經過的路程s.oxy作直線運動的物體從時刻t=a到時刻定積分的概念與性質定積分表示以變速15定理1定理2或記為黎曼德國數學家(1826–1866)四、關于函數的可積性可積.且只有有限個可積.當函數的定積分存在時,可積.黎曼可積,第一類間斷點,充分條件定積分的概念與性質16例1下面舉例按定義計算定積分.求函數上的定積分.定積分的概念與性質17定積分的概念與性質討論定積分的近似計算問題.存在.n等分,用分點分成n個長度相等的小區(qū)間,長度取有每個小區(qū)間對任一確定的自然數18定積分的概念與性質取如取矩形法公式矩形法的幾何意義19對定積分的補充規(guī)定說明定積分的概念與性質五

6、、定積分的性質在下面的性質中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大?。?0證(此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況)性質1定積分的概念與性質21證性質2性質1和性質2稱為定積分的概念與性質線性性質.22補充例(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質3定積分的概念與性質假設的相對位置如何,上式總成立.不論23證性質4性質5定積分的概念與性質如果在區(qū)間則24解令于是比較積分值和的大小.例2定積分的概念與性質25性質5的推論1證定積分的概念與性質如果在區(qū)間則于是性質5如果在區(qū)間則26思考比較下列積分的大小.(1)(2)(3)(4)(5)定積分的概念與性質27證說明性質5的推論2定積分的概念

7、與性質性質5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論128證(此性質可用于估計積分值的大致范圍)性質6分別是函數最大值及最小值.則定積分的概念與性質29定積分的概念與性質例3.試證:證:設則在上,有即故即30證由閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理:性質7(定積分中值定理）定積分的概念與性質如果函數在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點使下式成立:積分中值公式至少存在一點使即31定理用途注定積分的概念與性質性質7(定積分中值定理）如果函數在閉區(qū)間連