定積分的概念與性質(zhì)

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1、第五章定積分定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個一種認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的definiteintegral不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想—主要組成部分.思想方法.1第五章定積分基本要求理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.2第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)思考題作業(yè)定積分定積分的性質(zhì)***definit

2、eintegral31.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實(shí)際問題求由連續(xù)曲線一、定積分問題舉例抽象出來的,現(xiàn)舉兩例.定積分的概念與性質(zhì)4用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積5采取下列四個步驟來求面積A.(1)分割(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)長度為為高的小矩形,面積近似代替6(3)求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì)

3、,定積分的概念與性質(zhì)極限值就是曲邊梯72.求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知速度是時間間隔的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．定積分的概念與性質(zhì)8(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程.某時刻的速度9二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b

4、]中任意插入定義若干個分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn):2)方法一樣;1)量具有可加性,3)結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)10被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間11(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,今后將經(jīng)常利用定積分與變量記

5、號無關(guān)性進(jìn)行推理.定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號無關(guān).12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義和物理意義13幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的在x軸上方的面積取正號;在x軸下方的面積14例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直線運(yùn)動的物體從時刻t=a到時刻定積分的概念與性質(zhì)定積分表示以變速15定理1

6、定理2或記為黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–1866)四、關(guān)于函數(shù)的可積性可積.且只有有限個可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時,可積.黎曼可積,第一類間斷點(diǎn),充分條件定積分的概念與性質(zhì)16例1下面舉例按定義計算定積分.求函數(shù)上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)17定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計算問題.存在.n等分,用分點(diǎn)分成n個長度相等的小區(qū)間,長度取有每個小區(qū)間對任一確定的自然數(shù)18定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的幾何意義19對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中,

7、假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小．20證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分的概念與性質(zhì)21證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).22補(bǔ)充例(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)的相對位置如何,上式總成立.不論23證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則24解令于是比較積分值和的大小.例2定積分的概念與性質(zhì)25性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)5如果在區(qū)間則26思考比較下列積分的大小.(1)(2)(3)(

8、4)(5)定積分的概念與性質(zhì)27證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論128證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6分別是函數(shù)最大值及最小值.則定積分的概念與性質(zhì)29定積分的概念與性質(zhì)例3.試證:證:設(shè)則在上,有即故即30證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn)使即31定理用途注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連