定積分的概念及運算

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1、§3.3定積分要點梳理1.用化歸法計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積的具體步驟為、、、.分割近似代替求和取極限基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)2.定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點將區(qū)間［a,b］等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點ξi(i=1,2,…,n)，作和式.當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分,記作,即=,其中f(x)稱為,x稱為,f(x)dx稱為，［a,b］為，a為，b為，“”稱為積分號.被積函數(shù)積分變量被積

2、式積分區(qū)間積分下限積分上限3.的實質(zhì)（1）當(dāng)f(x)在區(qū)間［a,b］上大于0時，表示由，這也是定積分的幾何意義.（2）當(dāng)f(x)在區(qū)間［a,b］上小于0時，表示.(3)當(dāng)f(x)在區(qū)間［a,b］上有正有負時，表示介于x=a，x=b(a≠b)之間x軸之上、下相應(yīng)的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積由直線x=a，x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)4.定積分的運算性質(zhì)(1)=.(2)=.(3)=.5.微

3、積分基本定理一般地，如果f（x）是區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)=f(x),那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓——萊布尼茲公式.可以把F（b）-F（a）記為F(x).即(a＜c＜b)6.利用牛頓——萊布尼茲公式求定積分的關(guān)鍵是，可將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逆向使用.7.定積分的簡單應(yīng)用（1）求曲邊梯形的面積（2）勻變速運動的路程公式做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間［a,b］上的定積分，即s=.求被積函數(shù)的原函數(shù)(3)變力作功公

4、式一物體在變力F（x）（單位：N）的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向從x=a移動到x=b(a＜b)（單位：m),則力F所作的功為W=.基礎(chǔ)自測1.sinxdx等于（）A.0B.2πC.πD.2解析=-cosπ-(-cos0)=1+1=2.Dx2(x≥0)2x(x＜0)，則f(x)dx的值是（）A.x2dxB.2xdxC.x2dx+2xdxD.2xdx+x2dx解析由分段函數(shù)的定義及積分運算的性質(zhì)知：D2.設(shè)f(x)=3.如圖所示，函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個閉合圖形（圖中

5、的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（）A.1B.C.D.2y=-x2+2x+1y=1，∴S=（-x2+2x+1-1）dx=（-x2+2x）dxB由解析得x1=0,x2=2.4.曲線y=cosx（0≤x≤)與坐標(biāo)軸所圍成的面積是（）A.2B.3C.D.4解析如圖所示，B5.有一質(zhì)量非均勻分布的細棒，已知其線密度為（x）=x3（取細棒的一端為原點，所在直線為x軸），棒長為1，則棒的質(zhì)量M為（）A.1B.C.D.解析D題型一利用微積分基本定理求定積分【例1】(1)(x2+2x+1)dx;(2)(sinx

6、-cosx)dx;(3)（x-x2+）dx;(4)(cosx+ex)dx.先由定積分的性質(zhì)將其分解成各個簡單函數(shù)的定積分,再利用微積分基本定理求解.解(1)(x2+2x+1)dx=x2dx+2xdx+1·dx=思維啟迪題型分類深度剖析探究提高計算一些簡單的定積分，解題的步驟是：（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；（2）把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)；（4）利用牛頓——萊布尼茲公式求出各個定積分的值

7、；（5）計算原始定積分的值.計算f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)=f(x)的函數(shù)F（x）.其中F（x）可將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逆向使用得到.知能遷移1求下列函數(shù)的定積分.(1)(4x3+3x2-x)dx;(2)（e2x+）dx;(3)sin2dx.解（1）(4x3+3x2-x)dx=(4x3)dx+(3x2)dx-xdx==(24-0)+(23-0)-(22-0)=16+8-2=22.題型二求分段函數(shù)的定積分【例2】計算下列定積分.（1）

8、sinx

9、dx;(2)

10、x2-1

11、dx.對于第（1

12、）小題，應(yīng)對在區(qū)間［0，2π］上的正、負進行分情況計算；而對于第（2）小題，在0≤x≤2的條件下，對x2-1的正、負情況進行討論.解（1）∵（-cosx）′=sinx，∴

13、sinx

14、dx=

15、sinx

16、dx+

17、sinx

18、dx=-（cosπ-cos0）+（cos2π-cosπ）=4.思維啟迪x2-1(1＜x≤2)1-x2(0≤x≤1)∴

19、x2-1

20、dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx（2）∵0≤x≤2，于是

21、x2-1

22、=當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值（或平方根）