定積分的概念及應(yīng)

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1、第六章定積分的概念及應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念第二節(jié)平面圖形的面積第三節(jié)體積數(shù)學(xué)分析電子教案西電科大第四節(jié)平面曲線弧長第五節(jié)功、水壓力和引力第六節(jié)平均值習(xí)題課數(shù)學(xué)分析電子教案西電科大例1求曲邊梯形的面積一、問題的提出（引例）中學(xué)學(xué)習(xí)過：三角形，圓形，矩形，平行四邊形，梯形等規(guī)則圖形面積的計(jì)算。那么不規(guī)則圖形的面積怎么來求呢?下面將介紹任一圖形面積的計(jì)算方法，例如：第一節(jié)定積分的概念XAababA2ab曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）0y面積A=A1-A2故問題為求出兩個(gè)曲邊梯形的面積如何去求曲邊梯形的面積呢？下面將展開討論：1第一節(jié)定積分的概念設(shè)一曲邊梯形由直線x=a,x=b

2、,y=0及曲線解：step1：分割在[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1~n)區(qū)間長度為(i=1~n)所圍成，求面積A,其中f(x)在[a,b]上連續(xù)。step2:近似step3:求和第一節(jié)定積分的概念step4:取極限第一節(jié)定積分的概念用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．第一節(jié)定積分的概念例2（求變速直線運(yùn)動的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．第一節(jié)定積分的概念（1

3、）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第一節(jié)定積分的概念上面兩例可以看出：兩個(gè)不同問題所求的量，采用了同樣的計(jì)算方法，最終都?xì)w結(jié)為具有相同結(jié)構(gòu)的和式極限。拋開這些問題的具體意義，在數(shù)學(xué)上就抽象出定積分的概念。第一節(jié)定積分的概念二、定積分的定義定義第一節(jié)定積分的概念被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和積分符號第一節(jié)定積分的概念注意：由定積分定義，例1，例2分別為：1。極限存在指：任意分割，任一取點(diǎn)，和式極限存在且相等。2。定積分是個(gè)數(shù)，與積分變量的符號無關(guān)，即3。規(guī)定：4。錯(cuò)誤！為什么？第一節(jié)定積分的概念定理1定理2三、存在定理且只

4、有有限個(gè)間斷點(diǎn)（第一類間斷點(diǎn)），第一節(jié)定積分的概念曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值四、定積分的幾何意義曲邊梯形面積的代數(shù)和如圖：第一節(jié)定積分的概念五、小結(jié)練習(xí)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求乘積近似代替第一節(jié)定積分的概念練習(xí)例1解：由幾何意義例2計(jì)算：計(jì)算：解：如圖第一節(jié)定積分的概念例3利用定義計(jì)算解：1。將[0，1]n等分，2。3。求和4。即第一節(jié)定積分的概念例4解：第一節(jié)定積分的概念一.直角坐標(biāo)系情況所圍圖形面積，如圖:解:1。畫圖，求出交點(diǎn)；2。選積分變量，3。4。特別的:曲邊梯形面積第二

5、節(jié)平面圖形的面積第二節(jié)平面圖形的面積例1.解:畫圖，求得交點(diǎn)(-1,1)及(3,9)例2.解:畫圖，求得交點(diǎn)(2,-2)及(8,4)選ｙ為積分變量，則問:若選x為積分變量如何？第二節(jié)平面圖形的面積二.參數(shù)方程情況例3.解:由對稱性一般的，第二節(jié)平面圖形的面積例4.解:第二節(jié)平面圖形的面積三.極坐標(biāo)情況解:1。2。3。第二節(jié)平面圖形的面積例5.解:另解:第二節(jié)平面圖形的面積一.旋轉(zhuǎn)體的體積定義:由一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，叫旋轉(zhuǎn)體。第三節(jié)體積第三節(jié)體積以上旋轉(zhuǎn)體的體積在中學(xué)已經(jīng)會計(jì)算，下面討論一般的旋轉(zhuǎn)體的體積。例1.解:1。2。3。下面將結(jié)論推廣:

6、第三節(jié)體積如圖:類似的，若旋轉(zhuǎn)體是曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的y=f(x)y=g(x)第三節(jié)體積例2.解:(1)繞x軸(2)繞y軸第三節(jié)體積例3.解:(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)第三節(jié)體積(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)第三節(jié)體積(2)繞y=2a旋轉(zhuǎn)所求體積即是中間喇叭狀的體積第三節(jié)體積二.平行截面面積為已知的立體體積如圖，解:1。2。3。第三節(jié)體積例4.解:建立坐標(biāo)如圖，第三節(jié)體積定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問題引起和推動的。因此定級分得應(yīng)用頁非常廣泛。本章主要介紹幾何上，物理上實(shí)際問題的應(yīng)用，例如：計(jì)算平面圖形面積，曲線弧長，旋轉(zhuǎn)體體積，引力，做功等?；舅枷耄簩?shí)際問題所求量Q轉(zhuǎn)化為求Q=(積

7、分模型)轉(zhuǎn)化方法：元素法（或微元法），即從局部到整體微元法為了說明小元素法，我們先來回顧一下曲邊梯形面積轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算過程。step1.分割：任意劃分[a,b]為n個(gè)小區(qū)間step2.近似：第一節(jié)定積分的元素法(或微元法)微元法step3.求和：step4.取極限：分析：在上述問題注意到:所求量(即面積)A滿足：1。與區(qū)間[a,b]及[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)有關(guān);2。對[a,b]具有可加性，3。實(shí)際上，引出A的積分表達(dá)式的關(guān)鍵步驟是第二步，因此求解可簡化如下：微元法step1:選取積分變量及積分區(qū)間（如x屬于[a,b]）step2