階常系數(shù)非齊次線性微分方程(IV)

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1、三、小結(jié)二、型一、型7-8節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性方程第七節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程和定理3設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想特解特解綜上討論例1求微分方程的一個特解.解：所對應的齊次方程為其特征方程為特征根為由于不是特征方程的根，設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式二次多項式例2.求微分方程的通解.對應齊次方程的通解為λ=0是特征方程的單根，非齊次方程的特解為方程的通解為：代

2、入方程得方程的特解為：解：特征方程對應齊次方程通解特征根例3代入方程,得原方程通解為原方程的特解為方程（2）的特解為：（證略）二、型例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程為r2+1=0,其根為r1,2=?i,對應齊次線性方程的通解為?y=C1cosx+C2sinx.因??iω=?2i不是特征方程的根,k=0，?=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解設(shè)為：

3、代入原方程，整理得比較兩端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特解為方程的通解為例5.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式整理得：解：將方程寫為兩邊對x求導得：再求導得：設(shè)y=f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程r2+1=0的根為r1,2=?i，對應齊次線性方程通解為而??iω=?i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).設(shè)非齊次方程特解為于是故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：(待定系數(shù)法)三、小結(jié)P348習題7-8:6P347習題7-81.(8)；2.(

4、3).布置作業(yè)P304------習題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π丁?解：設(shè)小船的航行路線C：0xvyh水流P315------習題7-41.求下列微分方程的通解：P311公式（5）2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：