隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(VI)

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1、1隱函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中是常見(jiàn)的.平面曲線方程空間曲面方程空間曲線方程下面討論如何由隱函數(shù)方程如求偏導(dǎo)數(shù).2一個(gè)方程的情形方程組的情形小結(jié)思考題作業(yè)implicitfunction8.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用3一、一個(gè)方程的情形在一元函數(shù)微分學(xué)中,現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則給出隱函數(shù)的求導(dǎo)法.并指出:曾介紹過(guò)隱函數(shù)(1)的求導(dǎo)公式,隱函數(shù)存在的一個(gè)充分條件.1.由二元方程F(x,y)=0確定一元隱函數(shù)y=f(x),4隱函數(shù)存在定理1設(shè)二元函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)滿足:并有(1)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);它滿足條件

2、y0=f(x0),則方程F(x,y)=0在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(2)(3)能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(證明從略)僅推導(dǎo)公式.將恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),由鏈導(dǎo)法則,得y=f(x),5或簡(jiǎn)寫:于是得所以存在(x0,y0)的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)6證記(1)的鄰域內(nèi)連續(xù);所以方程在點(diǎn)(0,0)附近確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、且的隱函數(shù)y=f(x),則(2)(3)例證明方程一個(gè)隱函數(shù)y=f(x),在(0,0)點(diǎn)附近確定隱函數(shù)存在定理17先變形方程方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)例法一推導(dǎo)法解（即一元隱函數(shù)求導(dǎo)法）8解令則例隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

3、法二公式法9則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)并有若三元函數(shù)F(x,y,z)滿足:它滿足條件在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)2.由三元方程F(x,y,z)=0確定二元隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理2(1)(2)(3)z=f(x,y),z=f(x,y),偏導(dǎo)數(shù);10(證明從略)僅推導(dǎo)公式.將恒等式兩邊分別關(guān)于x和y求導(dǎo),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得設(shè)z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù),則所以存在點(diǎn)(x0,y0,z0)的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)因?yàn)檫B續(xù),于是得11

4、例解則令法一公式法x,y,z的三個(gè)自變量的函數(shù).在求Fx,Fy,Fz時(shí),將F(x,y,z)看作是12方程確定了一個(gè)二元函數(shù)z=f(x,y),方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：(y看作常數(shù))方程兩邊對(duì)y求導(dǎo):(x看作常數(shù))法二推導(dǎo)法例解13將隱函數(shù)方程兩邊取全微分法三全微分法例14將注再一次對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),得對(duì)復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.15解法一用公式練習(xí)16法二用全微分得17例設(shè)有隱函數(shù),其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求解令用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法一由公式.18將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,即故從而此法

5、步驟清楚法二利用全微分.求得19將方程兩邊求導(dǎo)(推導(dǎo)法).對(duì)x求偏導(dǎo):uv即自己練習(xí)z是x,y的函數(shù)!法三20二、方程組的情形(隱函數(shù)組)下面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的確定兩個(gè)二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),求故由方程組求導(dǎo)方法.兩個(gè)方程,四個(gè)變量21則方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在點(diǎn)(x0,y0)v0=v(x0,y0)的單值連續(xù)函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),且有偏導(dǎo)數(shù)公式:的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件u0=u(x0,y0),隱函數(shù)存在定理3若函數(shù)F(x,y,u,v),G(x,y,u

6、,v)滿足:在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)(1)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(2)(3)22(證明從略)僅推導(dǎo)公式.23將恒等式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),解這個(gè)以為未知量的線性方程組,由鏈導(dǎo)法則得:求24解得當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí),即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-185125同理,兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo),得求26特如果方程組它可能確定兩個(gè)現(xiàn)假定它確定且兩個(gè)函數(shù)則求的方法同前面求的方法相同.為都可微,別一元函數(shù),兩個(gè)方程,三個(gè)變量27例解分析直接代入公式；法一令282930方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)得運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法.注意例解克萊

7、姆法則31例設(shè)方程組確定函數(shù)解運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法.原方程組兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù):u與v都視為x,y的二元函數(shù)32解方程組得移項(xiàng)得：33原方程組兩邊分別對(duì)解方程組得自己練y求偏導(dǎo)數(shù):34反函數(shù)組存在定理列式或設(shè)函數(shù)組x=x(u,v),y=y(u,v)在點(diǎn)(u,v)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),鄰域內(nèi))能確定連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組則函數(shù)組相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的鄰域內(nèi)并有其Jacobi行在與點(diǎn)(u,v)(也稱為在點(diǎn)(x,y,u,v)的35證令有已知所以由隱函數(shù)存在定理3知,方程組能確定函數(shù)和所以存在反函數(shù)組.36兩邊分別對(duì)x和對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),得再在

8、方程所以有37例解法一對(duì)x求偏導(dǎo):這是含有四個(gè)變量?jī)蓚€(gè)方程的方程組,它可以確定兩個(gè)二元的隱函數(shù).如果把作因變量,x,y作自變量,那么隱函數(shù)也就是函數(shù)組