對“旋轉變換”解決幾何問題的探討(何蘭紅）

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1、對“旋轉變換”解決平面幾何問題的探討（何蘭紅）內(nèi)容摘要：隨著新課改的推行與實施,旋轉變換已納入初中幾何教材之中。旋轉變換是圖形變換中的一種基本變換,它在平面幾何求解題、證明題、作圖題中有著廣泛的應用。本文擬從通過剖析旋轉變換的定義、性質(zhì)，剖析幾何圖形特征及幾何問題特點來探討如何正確運用旋轉變換解題。關鍵詞：旋轉變換、旋轉中心、旋轉角、幾何問題新教材中，幾何教學加強了“圖形變換”的有關內(nèi)容，通過體會和認識圖形特征，增強了學生用旋轉變換處理幾何問題的感受，并注重幾何直覺培養(yǎng)空間觀念。而旋轉變換，正是利用直觀感知和合情推理或數(shù)學說理，使幾何問題中已知或所求的部分集中到一個基本圖形中，為求解創(chuàng)

2、設合適的情景，從而減少了繁瑣的邏輯推理、證明和運算，能更簡便、靈活地解決問題。那么旋轉變換解決幾何問題的關鍵是什么，什么幾何圖形、哪些幾何問題可運用旋轉變換呢？本人根據(jù)自己的教學實踐，作如下粗淺的探討。首先、理解并掌握好旋轉變換的定義、性質(zhì)，正確運用旋轉變換解題。旋轉變換是將平面圖形F1繞平面內(nèi)一定點O旋轉一個定角，得到一個與原來圖形的形狀與大小都一樣的圖形F2，O點叫做旋轉中心，叫做旋轉角，當時，稱為中心對稱變換，所以中心對稱變換是一種特殊的旋轉變換。旋轉變換的基本特征和性質(zhì)是：（1）在旋轉變換下，旋轉圖形中每一點繞著旋轉中心轉了同樣大小的角度，即都等于旋轉角；（2）在旋轉變換下，

3、對應線段相等；（3）在旋轉變換下，對應直線的夾角等于旋轉角。由旋轉變換的定義和性質(zhì)可知，平面上的旋轉由旋轉中心O和旋轉角完全確定。因此，要對圖形進行旋轉變換，需要根據(jù)圖形的特點選擇合適的旋轉中心和旋轉角。例1、如圖，四邊形AFCE中，ABFC于B，且AF=AE，AB=BC=5，求四邊形AFCE的面積。（由《八年級》上冊第15頁習題3改編）。分析：由于四邊形AFCE不是特殊四邊形，直接計算面積比較困難，由AF=AE，利用旋轉變換，將AFB繞點A逆時針旋轉900（即的度數(shù)）至，則可知點G、E、C在同一條直線上，四邊形ABCG是一個正方形，這樣求四邊形AFCE的面積就轉化成求正方形ABCG的

4、面積，問題也就解決了。由例1可以看出，運用旋轉變換關鍵是：（1）確定旋轉中心（例1的旋轉中心是點A）；（2）確定旋轉圖形（例1中是AFB）；（3）確定旋轉的角度和方向（例1中旋轉角度為900，逆時針方向）。其次、由旋轉變換的性質(zhì)可知，當平面幾何圖形中有共點且相等的線段時，可以考慮旋轉變換，如等腰三角形、正方形。1、若問題中有等腰三角形，可設計以等腰三角形的頂點為旋轉中心，以頂角為旋轉角的旋轉，而正三角形的旋轉角往往是600。例2、D為等腰三角形ABC內(nèi)一點，AB=AC，ADB>求證:DC>DB.分析：如圖，把繞頂點A逆時針旋轉，使AB與AC重合，得到，連結DE，則有AD=AE，，。因為

5、所以。又因為AD=AE，所以，則，所以DC>EC,即DC>DB。注：此題若條件改為ADB=(或ADB<),結論改為DC=DB(或DC

6、中，AB=AD，AC=1，，則四邊形ABCD的面積（）A、1B、C、D、分析：由AB=AD，考慮將繞點A逆時針旋轉至，使AB與AD重合，則AE=AC，點C、D、E共線，故是正三角形，從而將求四邊形ABCD的面積轉化為求等邊的面積，問題簡單多了。4、若問題中與某線段中點或某組具有公共中點的線段有關，可以此中點為中心，設計中心對稱變換。5、若問題中有圓或正多邊形，可以考慮以圓心或正多邊形中心為中心的某種旋轉。再者，當幾何問題中有旋轉變換圖形特征時，條件或結論中又出現(xiàn)分散的線段或角度時，可考慮用旋轉變換把分散的線段和角集中在一個基本圖形之中去解決問題。例5、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,

7、PA=2,PB=2,PC=4,求ABC的邊長。分析：本題所給的三條線段比較分散，直接使用不方便，若能將三條線段集中到同一三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關系可知，這是一個直角三角形。因此，可考慮旋轉變換。將繞點B逆時針旋轉600至,則BA與BC重合,BP=BP1,PA=P1C,PBP1=600，則是正三角形。因為PC=4，CP1=PA=2，PP1=BP=2，由（CP1）2+（PP1）2=PC2，則是直角三角形，且，而，所以是直角三角形，從而BC2=BP