容斥原理(一)

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1、【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：容斥原理（一）【例題分析】例1.有長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)5厘米的正方形。如圖放在桌面上，求這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積？分析與解：陰影部分是直角三角形，是兩個(gè)圖形的重疊部分，它的面積是：（平方厘米）方法一：（平方厘米）方法二：（平方厘米）方法三：（平方厘米）答：蓋住桌面的面積是67平方厘米。例2.六一班參加無線電小組和航模小組的共26人，其中參加無線電小組的有17人，參加航模小組的有14人，兩組都參加的有多少人？分析與解：把17人和14人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以減去總?cè)藬?shù)，就是

2、兩組都參加的人數(shù)（人）。也可以這樣解：（人）或（人）答：兩組都參加的有5人。例3.六一班有學(xué)生46人，其中會(huì)騎自行車的有19人，會(huì)游泳的有25人，既會(huì)騎車又會(huì)游泳的有7人，既不會(huì)騎自行車又不會(huì)游泳的有多少人？分析與解：先求出46人中會(huì)騎車或會(huì)游泳的有多少人，從中減去會(huì)騎車或會(huì)游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會(huì)騎車也不會(huì)游泳的人數(shù)。（人）（人）答：既不會(huì)騎車又不會(huì)游泳的有9人。例4.某年級(jí)的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個(gè)小組，參加美術(shù)小組有20人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有31人，同時(shí)參加美術(shù)和音樂兩個(gè)小組有5人，同時(shí)參加

3、音樂和手工兩個(gè)小組有6人，同時(shí)參加美術(shù)和手工兩個(gè)小組的有7人，三個(gè)小組都參加的有3人，這個(gè)年級(jí)參加課外小組的同學(xué)共有多少人？分析與解：圖中的5、6、7人都是兩兩重疊的部分，圖中的3人是三個(gè)重疊的部分，要從三個(gè)組的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)多余的部分。（人）答：這個(gè)年級(jí)參加課外小組的有60人。例5.某班在短跑、投擲和跳遠(yuǎn)三項(xiàng)檢測(cè)中，有4人三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀，其他人至少有一項(xiàng)是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請(qǐng)你算出全班人數(shù)。短跑投擲跳遠(yuǎn)跑跳跑投跳投三項(xiàng)19212091063分析與解：根據(jù)題意畫出如下圖要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一項(xiàng)

4、達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，加上三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀的，就是全班人數(shù)。（人）（人）答：全班有42人。例6.分母是105的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？分析與解：這些分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子應(yīng)小于105，只能是1—104中的自然數(shù)，而且分子與105要互質(zhì)。因?yàn)?，所以分母不能?的倍數(shù)或5的倍數(shù)或7的倍數(shù)。所以，要求有多少個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，實(shí)際上就是求1—104這104個(gè)自然數(shù)中不能被3、5、7整除的數(shù)有多少個(gè)。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的數(shù)有多少個(gè)。能被3整除的數(shù)：（個(gè)）能被5整除的數(shù)：（個(gè)）能被7整除的數(shù)：（個(gè)）能同時(shí)被3和5整除的數(shù)

5、：能同時(shí)被3和7整除的數(shù)：能同時(shí)被5和7整除的數(shù)：（個(gè)）（個(gè)）答：分母是105的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有48個(gè)。【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1.有三個(gè)面積各為50平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是8、10、12平方厘米，三個(gè)圓相交的面積是5平方厘米，求三個(gè)圓蓋住桌面的面積？2.某區(qū)有100名外語教師懂英語或日語，其中懂英語的有75名，既懂英語又懂日語的有20人。只懂日語的有多少名？3.某班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)時(shí)有10人得優(yōu)，英語得優(yōu)有12人，兩門都得優(yōu)有3人，兩門都沒得優(yōu)的有26人。全班有多少人？4.六年級(jí)一班春游，帶礦泉水的有18人

6、，帶水果的有16人，這兩種至少帶一種的有28人，求兩種都帶的有多少人？5.在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)或不能被3整除或不能被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？【試題答案】1.有三個(gè)面積各為50平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是8、10、12平方厘米，三個(gè)圓相交的面積是5平方厘米，求三個(gè)圓蓋住桌面的面積？50×3－8－10－12＋5＝125（平方厘米）答：三個(gè)圓蓋住桌面的面積是125平方厘米。2.某區(qū)有100名外語教師懂英語或日語，其中懂英語的有75名，既懂英語又懂日語的有20人。只懂日語的有多少名？100－75＝25

7、（名）答：只懂日語的有25名。3.某班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)時(shí)有10人得優(yōu)，英語得優(yōu)有12人，兩門都得優(yōu)有3人，兩門都沒得優(yōu)的有26人。全班有多少人？10＋12－3＋26＝45（人）答：全班有45人。4.六年級(jí)一班春游，帶礦泉水的有18人，帶水果的有16人，這兩種至少帶一種的有28人，求兩種都帶的有多少人？18＋16－28＝6（人）答：兩種都帶的有6人5.在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)或不能被3整除或不能被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？100÷2＝50100÷3＝33……1100÷5＝20100÷（2×3）＝16……4100÷（2×5）＝

8、10100÷（3×5）＝6……10100÷（2×3×5）＝3……1050＋33＋20－16－10－6＋3＝74100－74＝26答：1至100不能被2、3、5整除的數(shù)有26個(gè)。