解析幾何專題復(fù)習(xí)講義

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1、解析幾何專題復(fù)習(xí)一、求曲線方程（1）直譯法1、高8cm和4cm的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上，且相距10cm，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為（A）A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線2、已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時(shí)。化簡(jiǎn)得所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平

2、行于軸的線段。（ii）時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓；3、設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;解:（1）因?yàn)?,,所以,即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí),方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.（2）定義法（待定系數(shù)法）1、某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到巨響的時(shí)間比其他

3、兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚，已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是，試確定該巨響的位置。（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為，各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上）解：如圖，解：以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得

4、PA

5、=

6、PB

7、，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故

8、PB

9、－

10、PA

11、=340×4=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得

12、，∵

13、PB

14、>

15、PA

16、,答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.2、已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。（1）求橢圓的C1的方程；（2）設(shè)橢圓的C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F２，直線l1過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線叫l(wèi)2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程。練習(xí)：1、已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為．2、設(shè)橢圓（，）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（B）（A）（B）?。–）（D）3、已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積

17、為9，則=3【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。4、設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）（A）(B)(C)(D)（3）相關(guān)點(diǎn)法（轉(zhuǎn)移法）1、已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；解：聯(lián)立,可得,,故線段的中點(diǎn),設(shè)中點(diǎn),從而有,解得,因點(diǎn)在曲線上,∴,整理得,又,∴即∴線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.（4）參數(shù)法1、設(shè)橢圓過(guò)

18、點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解(1)由題意：，解得，所求橢圓方程為(2)設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是，，從而，（1），（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上（5）線錐關(guān)系1、設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線的方程為_____________.解析：拋物線的方程為，2、設(shè)斜率為2的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交

19、于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為().A.B.C.D.【解析】:拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點(diǎn)為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B.w.3、設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，又與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，三等分線段，求直線的方程。解：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的情況，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：依題意有，由若，則與雙曲線最多只有