特征標(biāo)和特征標(biāo)表

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1、5.04,無機(jī)化學(xué)原理II麻省理工學(xué)院化學(xué)系第4講特征標(biāo)和特征標(biāo)表2'''在前面一講中，我們構(gòu)建了一套操作為ECC、、、、、33σvvσσv的特征標(biāo)表。但因?yàn)槲覀冞x擇的三角形基組是不完全的，所以并沒有揭示所有不可約表示Γirr。可以用一個(gè)三角形代表笛卡兒坐標(biāo)空間（x,y,z），在該空間中可以確定不可約表示Γirr，也可以嘗試選擇其他的基以揭示其他的不可約表示Γirr。例如，考察繞z軸的旋轉(zhuǎn)，在群的操作（因?yàn)橥活惒僮鞯奶卣鳂?biāo)是相同的，因此對每一類只選擇一個(gè)操作）下，這個(gè)基fn、Rz的變換特性如下：ERR：：zz→→CRR

2、3zzvσ(xyRR)：zz→注意：這些變換特性產(chǎn)生不包括在三角形基之內(nèi)的不可約表示?？傻玫揭粋€(gè)新的（1×1）的表示[representation，原文誤為：basis]Γ3，這個(gè)表示描述Rz的變換2'''特性。由ECC、、、、、33σvvσσv定義的群的Γi總結(jié)如下：5.04，無機(jī)化學(xué)原理II第4講第1頁共5頁不可約表示及其特征標(biāo)服從五個(gè)重要規(guī)則：規(guī)則1：群的不可約表示Γi的維數(shù)（li）平方和等于群的階h，即：由于恒等操作下特征標(biāo)等于Γi的維數(shù)（因?yàn)镋總是單位矩陣），該規(guī)則也可表述如下：原文誤為：規(guī)則2：不可約表示Γi

3、的特征標(biāo)的平方和等于h原文誤為：規(guī)則3：兩個(gè)不同不可約表示的特征標(biāo)作為分量的矢量正交原文誤為：5.04，無機(jī)化學(xué)原理II第4講第2頁共5頁規(guī)則4：對于給定的表示，所有屬于同類操作的矩陣的跡（trace，原文誤為character）相等。規(guī)則5：群中不可約表示Γi的數(shù)目等于群中類的數(shù)目運(yùn)用這些規(guī)則，我們就可以從代數(shù)學(xué)角度構(gòu)建特征標(biāo)表。下面仍以前面的例子為例來構(gòu)建缺乏任一基時(shí)的特征標(biāo)表：2'''規(guī)則5：E，(CC33、)，(σvvv、、σσ)，可分為3類，∴3Γi222規(guī)則1：lll123++=61，∴==ll12,l3=2

4、規(guī)則2：所以特征標(biāo)表都具有一個(gè)全對稱表示，這樣，其中的一個(gè)不可約表2示Γi具有特征標(biāo)χ1（E）＝1，χ1＝（C3，C3）＝1（原文誤為：σ1＝），χ1＝（σv，σv′，σv″）＝1。應(yīng)用規(guī)則2，我們可求得維數(shù)為1的其他不可約表示，因?yàn)棣?)E=1，212+?χχ23(C3)+?2v(σχχ)=0，∴23(C1,)=2v(σ)=?1在Γ3（l3=2）的情況下，規(guī)則2沒有唯一解22+?χχ33()C3+?3v(σ)=0但是，規(guī)則2應(yīng)用于Γ3可以得到一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的方程?？梢杂袔追N選擇得到第二個(gè)獨(dú)立的方程：5.04，無機(jī)化

5、學(xué)原理II第4講第3頁共5頁222++??規(guī)則1：122?=?χ3(C3)?3???χσ3v()?6（原文誤為：）規(guī)則3：11221??+??χχ33(C)+??313v(σ)=0或者11221??+??χχ33()C+???3()12v()σ=0可解得χχ33()C1=?,3v(σ)=0這樣我們得到與I.E.節(jié)一樣的結(jié)果。注意：本節(jié)是僅僅根據(jù)特征標(biāo)的性質(zhì)得出特征標(biāo)表。特征標(biāo)表是從代數(shù)學(xué)上得到的。而在I.E.節(jié)中的推引則是完全從第一原理得到。完整的特征標(biāo)表如下：ò對于A（對于Cn軸對稱）或者B（對于Cn軸反對稱），Γi的

6、l＝1，對E，l＝2，對T，l＝3。ò下標(biāo)1和2分別表示Γi對于垂直的C2對稱和反對稱，如果不存在垂直的C2，則相對于σv。5.04，無機(jī)化學(xué)原理II第4講第4頁共5頁ò撇（′）和兩撇（″）分別表示Γi對于σh對稱和反對稱。ò對于包含對稱中心i的群，下標(biāo)g表示對對稱中心對稱，而下標(biāo)u表示對對稱中心反對稱。5.04，無機(jī)化學(xué)原理II第4講第5頁共5頁