3-2 特征標(biāo)表.ppt

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1、群表示理論目錄3群表示理論（2）3.4廣義正交定理3.5特征標(biāo)表3.6直積群的表示3.7某些群的不可約表示（特征標(biāo)表）3.4廣義正交定理對于群G的每個(gè)操作R，Gm和Gn是具有矩陣Dm(R)和Dn(R)（維數(shù)分別為nm和nn）的二個(gè)不等價(jià)不可約酉表示，那么，它們的矩陣元之間滿足下列方程。（12-4-1）其中，g為群的階，加和遍及所有的操作R。（12-4-2）廣義正交定理包括以下三種情況：1）如果和代表在表示Gm和Gn中（關(guān)于操作R的）表示矩陣的二個(gè)第i行和第k列的矩陣元，則求和遍及所有的操作R。這表明：不同表示中，即使是相同行列位置的矩陣元亦是正交的；或者說，選自不同表示矩陣的

2、向量是相互正交的。（12-4-3）2）如果和是同一表示的不同位置的矩陣元，則求和遍及所有的操作R。這表明：同一表示中，行列位置不同的矩陣元是正交的；或者說，選自同一表示矩陣的不同向量是相互正交的。（12-4-4）3）對于同一表示的相同行列位置的矩陣元，則求和遍及所有的操作R。這表明：任何一個(gè)由矩陣元組成的向量的長度的平方等于方程右邊的值。廣義正交定理是群表示理論的核心。它描述了點(diǎn)群的不等價(jià)不可約酉表示之間的正交性，以及同一表示矩陣中行與列的正交性。釋例d軌道函數(shù)空間下C3v的不等價(jià)不可約表示特征標(biāo)對于一個(gè)不可約表示Gm，其特征標(biāo)記為一個(gè)表示矩陣的跡，在群表示理論中，稱作該群元

3、素（對稱操作）的特征標(biāo)。用符號c標(biāo)記。逆命題：如果二個(gè)表示的特征標(biāo)相等，則二個(gè)表示必定等價(jià)。矩陣的跡對于相似變換不變，因此，等價(jià)表示的各個(gè)對應(yīng)矩陣有相同的特征標(biāo)。即，特征標(biāo)不隨基函數(shù)的選擇而變化。對一個(gè)群的所有元素，一個(gè)給定表示的特征標(biāo)的完全集合，稱為該表示的特征標(biāo)。一個(gè)群中的同一共軛類元素由相似變換相關(guān)聯(lián)，顯然，其特征標(biāo)相同。由于特征標(biāo)不隨基函數(shù)的選擇而變化，因此，可以用各共軛元素類的特征標(biāo)組來標(biāo)志群的表示。1）群的全部不等價(jià)不可約表示的維數(shù)的平方和等于群的階，即上式也可以簡化為（12-4-5）廣義正交定理的幾個(gè)推論2）不可約表示的特征標(biāo)的平方和等于群的階。d軌道函數(shù)空間下

4、C3v的不等價(jià)不可約表示（12-4-6）3）由二個(gè)不同的不可約表示的特征標(biāo)作為分量的向量正交。d軌道函數(shù)空間下C3v的不等價(jià)不可約表示（12-4-7）現(xiàn)在我們把一個(gè)g階的群G的操作分類，用符號Ci表示。將第i類操作的數(shù)目用gi表示，把群中類的數(shù)目用k表示，因此例如，對于C3v群，我們有由于同一類操作的特征標(biāo)恒等，我們可以把方程（12-4-6）與（12-4-7）合并改寫為（12-4-8）式中求和只要遍及不同的類，cm(Ci)是不可約表示Gm的第i類任意操作的特征標(biāo)。上式加和號下的數(shù)字可解釋為k維向量的分量，并且與其它不可約表示的相似向量正交。由于正交k維向量的最大數(shù)目是k，因此

5、，不等價(jià)不可約表示的最大數(shù)目也必須是k。4）群的不等價(jià)不可約表示的數(shù)目等于群中類的數(shù)目。5）約化公式：不可約表示Gm在一個(gè)可約表示中出現(xiàn)的次數(shù)am等于現(xiàn)在，我們舉例說明以上規(guī)則的應(yīng)用。例1：C2v群由四個(gè)元素組成，每個(gè)元素自成一類。因此這個(gè)群有四個(gè)不可約表示（規(guī)則4）。規(guī)則1還要求這些不可約表示的維數(shù)的平方和也等于4（群的階），因此，C2v群有四個(gè)一維的不可約表示。例2：C3v群由六個(gè)元素組成，分成三類：E，2C3，3sv。因此這個(gè)群有三個(gè)不可約表示（規(guī)則4）。規(guī)則1還要求這些不可約表示的維數(shù)的平方和也等于6（群的階），因此，C3v群有一個(gè)二維和二個(gè)一維的不可約表示。利用上述

6、規(guī)則，我們實(shí)際上還能求出這些不可約表示的特征標(biāo)，這部分內(nèi)容稍后再討論。例3：對于C3v群，下面給出不可約表示G1，G2和G3的特征標(biāo)和二個(gè)可約表示Ga和Gb的特征標(biāo)：利用規(guī)則5，我們可以求出不可約表示Gm在可約表示中出現(xiàn)的次數(shù)am。3.5特征標(biāo)表群論和分子對稱性的全部應(yīng)用，都要不斷用到點(diǎn)群的不可約表示的特征標(biāo)。所以將它們組合在一起，稱為特征標(biāo)表。如：C3v點(diǎn)群的特征標(biāo)表C2v群的特征標(biāo)表不可約表示的標(biāo)記在點(diǎn)群的特征標(biāo)表中，最上面一行是目錄，在左上角是群的熊夫里記號。往后，是按類列出的群元素，并在其前加上該類操作的數(shù)目。每列之首是每一類的代表元素。往下，每一行是一個(gè)特定的不可約

7、表示。在特征標(biāo)表中，不可約表示采用Mulliken提出的符號標(biāo)記。一維表示（或稱非簡并表示）標(biāo)記為A（a）或B（b）。如果與原子軌道聯(lián)系的話（即以原子軌道作為表示的基），一維表示就意味著只有一個(gè)軌道，且不可約表示與該軌道的對稱性相同。二維表示（或稱二重簡并表示）標(biāo)記為E（e）。如果與原子軌道聯(lián)系的話（即以原子軌道作為基），二維表示就意味著只有二個(gè)能量相同的軌道，且不可約表示與軌道的對稱性相同。三維表示（或稱三重簡并表示）標(biāo)記為T（t）。如果與原子軌道聯(lián)系的話（即以原子軌道作為基），三維表示就意味著只有三