微積分基本公式與計算

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1、二、定積分的計算一、牛頓–萊布尼茨公式微積分的基本公式第六章與定積分的計算一微積分的基本公式引積分學(xué)中要解決兩個問題：第一個問題是原函數(shù)的求法問題，我們在第5章中已經(jīng)對它做了討論；第二個問題就是定積分的計算問題.如果我們要按定積分的定義來計算定積分,將會十分困難.我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念.但是,牛頓和萊布尼茲不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系,提出了“微積分學(xué)基本定理”.從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成微積分學(xué).Newton-Leibniz公式（微積

2、分基本公式）(牛頓-萊布尼茨公式)定理.函數(shù),則微積分基本公式表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量。求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題。例1.計算解:解原式例2.求例3.設(shè),求解例4.計算正弦曲線的面積.解:不定積分二、定積分的計算換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法2、定積分的分部積分法1、定積分的換元法3、定積分的計算技巧先來看一個例子例1換元求不定積分令則故1、定積分的換元法定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則令則當(dāng)x從0連續(xù)地增加到3時，t相應(yīng)

3、地從1連續(xù)地增加到2于是說明:1)當(dāng)?

4、1）偶倍奇零3、定積分的計算技巧特別的，當(dāng)出現(xiàn)積分區(qū)間關(guān)于原點對稱時，可以先考察被積函數(shù)的奇偶性，考慮偶倍奇零規(guī)律。例1求解原式=奇函數(shù)例2求解原式=奇函數(shù)例8計算下列定積分解奇函數(shù)偶函數(shù)解奇函數(shù)2）利用定積分的幾何意義——曲邊梯形面積若被積函數(shù)的圖像是規(guī)則圖形（特別是圓）時，定積分的值就可以用對應(yīng)的曲邊梯形面積得到。計算o解由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積例3計算解由定積分的幾何意義該積分等于半圓面積，即o-222例4計算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q

5、限配元不換限邊積邊代限作業(yè)P1785(1)(2)(4)(5)(6)(8)(11);P1831(1)(2)(10)(11);2(1)(2);3(1)(6)牛頓-萊布尼茨公式積分技巧偶倍奇零利用定積分的幾何意義2）利用定積分的幾何意義——曲邊梯形面積若被積函數(shù)的圖像是規(guī)則圖形（特別是圓）時，定積分的值就可以用對應(yīng)的曲邊梯形面積得到。例2.計算解:令則∴原式=且