從函數(shù)定義域看思維品質(zhì)

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1、從函數(shù)定義域看思維品質(zhì)摘要：木文分別從函數(shù)關(guān)系、函數(shù)值域、函數(shù)最值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性這五方面與定義域的關(guān)系觀察思維品質(zhì)的養(yǎng)成。關(guān)鍵詞：函數(shù)定義域；思維品質(zhì)；數(shù)學(xué)作者簡介：陳堅(jiān)，任教于廣西融水縣中學(xué)。數(shù)學(xué)能力的高低，是由思維品質(zhì)所決定。思維品質(zhì)是指個(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的深刻性、思維的廣闊性、思維的獨(dú)立性、思維的批判性、思維的邏輯性和思維的靈活性等品質(zhì)。思維的深刻性是指善于透過紛繁復(fù)雜的表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的木質(zhì)。思維的廣闊性是指善于全面地考察問題，從事物的各個(gè)方面及各種各樣的聯(lián)系和關(guān)系中去認(rèn)識(shí)事物。思維的獨(dú)立性是指

2、提出問題，并通過一系列的思維過程去發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑和方法，尋求問題的答案。思維的批判性是指在思維過程中不受別人暗示的影響，能嚴(yán)格而客觀地評(píng)價(jià)、檢查自己的和別人的思維成果。思維的邏輯性是指人的思維過稈服從或符合于嚴(yán)格的邏輯規(guī)律或規(guī)則，考察問題時(shí)遵循邏輯的順序，進(jìn)行推理的時(shí)候應(yīng)用正確而充分的依據(jù)，整個(gè)思維過程層次分明，前后連貫。思維的靈活性是指人在思維的過程中，善于根據(jù)客觀情況需要，及時(shí)提出符合實(shí)際的解決問題的假設(shè)和方法；在客觀條件發(fā)牛變化時(shí)，乂善于及時(shí)修改不切合實(shí)際的解決問題的假設(shè)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函

3、數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一。函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的,然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)牛的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。一、函數(shù)關(guān)系式與定義域函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。女m例1：現(xiàn)有鋁合金材料的總長度為5米，要做成一個(gè)上部為半圓下部為矩形(如圖)的窗框，求窗框面積S米與矩形下邊長x米的函數(shù)關(guān)系式。解：設(shè)矩形的下邊長為x米，由題意得：S二x+故函數(shù)

4、關(guān)系式為：S二x+如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍:0<x<。即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x+(0<x<)這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。二、函數(shù)值域與定義域函數(shù)的值

5、域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。女山例3：求函數(shù)的值域。錯(cuò)解：令∴故所求的函數(shù)值域是.剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)y二(t+1在［0?+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t二0時(shí)，ymin二.故所求的函數(shù)值域是［,+∞).以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍,精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地

6、檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。三、函數(shù)最值與定義域函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。女m例2：求函數(shù)在［—2,5］上的最值。解：???∴當(dāng)時(shí),初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應(yīng)分如下情況：(1)當(dāng)吋，在上單調(diào)遞增函數(shù)；(2)當(dāng)吋，

7、在上單調(diào)遞減函數(shù)；(3)當(dāng)吋，在上最值情況是：O即最大值是中最大的一個(gè)值。故本題還要繼續(xù)做下去：??■∴∴∴函數(shù)在［―2,5］上的最小值是一4,最大值是12.這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制吋，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。四、函數(shù)單調(diào)性與定義域函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如:例4：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：先求定義域：丁&there4

8、;∴函數(shù)定義域?yàn)?令，則y=logt當(dāng)在上時(shí)，t為增函數(shù)，在上吋，t為減函數(shù)。又I?∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。如果在做題吋，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)