構(gòu)造輔助函數(shù)

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1、構(gòu)造輔助函數(shù)解題一、直接構(gòu)造1.實(shí)數(shù)￡為何值時(shí)，不等式ex>kx對(duì)色w/?恒成立?二、稍作變形2.設(shè)函數(shù)f(x)=——(兀>0且xHl)xx⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；丄(II)已知2^>xa對(duì)力w(0,1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.三、適當(dāng)放縮3.設(shè)函數(shù)f(x)=——+ln(x-l).其中nwN".求證：對(duì)VhgN',當(dāng)x>2吋，有/(x)5x-l.(1一兀)"四、化離散為連續(xù)4.證明：對(duì)VmgN不等式ln(-+l)>4—T都成立?nn~n五、二次構(gòu)造兀21.函數(shù)/(x)=ln2(l+x)-—1X⑴求/(兀)的單調(diào)區(qū)間;/[+a(2)若不等式1+丄5￡對(duì)任意的nM

2、都成立，求a的最大值.六、構(gòu)造雙函數(shù)122.證明：對(duì)/兀>0,都有x>—成立.exex七、注意繁簡(jiǎn)之分3.設(shè)/(x)=Inx.(1)求函數(shù)g(兀)=/(x+l)-x的最大值；(2)已知0vavb,求證：/(b)-/(a)>：￡；；)附2012年高考題分類：一、數(shù)列與不等式1.已知函數(shù)/(x)=x-ln(x+tz)的最小值為0,其中67>0.⑴求d的值；(2)若對(duì)任意的xg[0,+oo),有f(x)0)aex(I)求/(對(duì)在

3、［0,+oo)內(nèi)的最小值；(II)設(shè)曲線y二f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=—X,求a,b的值。4^3?設(shè)函數(shù)九(x)=x"+bx+c(nwR)?(\(I)n>2,b=l,c=-l,證明：九(兀)在區(qū)間一,1內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；2丿(II)設(shè)77=2,若對(duì)任意X},X2e［-1,1］,有

4、￡(兀［)-￡(兀2)1<4,求方的取值范圍;(III)在(I)的條件下，設(shè)兀是九(兀)在［丄,1］內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列兀2小，…心…的增減性。<2)4.(I)己知函數(shù)/(x)=/*%-xr+(l-r)(x>0),其中廠為有理數(shù)，且0v廠<1,求/(兀)的最小值；(II)試

5、用(I)的結(jié)杲證明如下命題：設(shè)a{>0,a2>0,bl9b2為正有理數(shù)，若勺+化=1,則a/2

6、。(I)用d和斤表示/(;?)；f(—>72(II)求對(duì)所有斤都有>^—成立的。的最小值；/(〃)+1?12+1”127f⑴一(IIT)當(dāng)0VQV1時(shí)，比較工一與一?、/〈的大小,并說明理由。幺/(￡)—/(2Q4/(0)-/(1)5.設(shè)數(shù)列｛色｝的前〃項(xiàng)和Sn滿足S“+]=a2Sn+d

7、,其中a?H0?⑴求證：｛色｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；fl(2)若一1，求證：S”5—(q+色)，并給出等號(hào)成立的充要條件.2二、恒成立6.已知函數(shù)f(x)=eax-x,其中dHO。⑴若對(duì)一切xwR,l恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)/(兀)的圖像上取定兩點(diǎn)Ag,/(xJ),〃(兀

8、2，/(兀2))(西<兀)，記直線AB的斜率為問：是否存在xoe(xpx2),使fx0)>k成立？若存在，求X。的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。7.已知函數(shù)于⑴滿足滿足/(兀)=廣⑴嚴(yán)-f(0)x+-x2；(1)求/(兀)的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)—%2+cix+b,求(d+l)b的最大值。2InX"+￡4.已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù)，e=2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(l))處的切線與x軸平行。(I)求k的值；(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(III)設(shè)g(x)=(x2+x)廣(兀)，其中廣(兀)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明

9、：對(duì)任意x>0,g(兀)<1+八。5.設(shè)函數(shù)/(勸=似“(1-兀)+以兀>0),72為正整數(shù)，a"為常數(shù).曲線y=.f(x)在(1,/(1))處的切線方程為x+y=l.(1)求的值;⑵求函數(shù).f(兀)的最大值;(3)證明：/(%)<1ne三、含參不等式的求解6.設(shè)a0},B二{xw7?

10、2兀2—3(1+0)兀+6°>o},D=ACB(1)求集合D(用區(qū)間表示)(2)求函數(shù)/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)。7.本題滿分14分)已知a>0,bWR,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b