求解非線性規(guī)劃

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1、非線性規(guī)劃的實(shí)例與定義如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問(wèn)題為非線性規(guī)劃問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，解非線性規(guī)劃要比解線性規(guī)劃問(wèn)題困難得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒(méi)有適于各種問(wèn)題的一般算法，各個(gè)方法都有自己特定的適用范圍。1.2線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的區(qū)別如果線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，其最優(yōu)解只能在其可行域的邊界上達(dá)到（特別是可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到）；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解（如果最優(yōu)解存在）則可能在其可行域的任意一點(diǎn)達(dá)到。1.3非線性規(guī)劃的Matlab解法Matlab中非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型寫(xiě)成

2、以下形式,其中是標(biāo)量函數(shù)，是相應(yīng)維數(shù)的矩陣和向量，是非線性向量函數(shù)。Matlab中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量，其中FUN是用M文件定義的函數(shù)；X0是的初始值；A,B,Aeq,Beq定義了線性約束，如果沒(méi)有等式約束，則A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB和UB是變量的下界和上界，如果上界和下界沒(méi)有約束，則LB=[]，UB=[]，如果無(wú)下界，則LB=-inf，如果無(wú)上界，則UB=inf；NONLCON是用M文件定義

3、的非線性向量函數(shù)；OPTIONS定義了優(yōu)化參數(shù)，可以使用Matlab缺省的參數(shù)設(shè)置。例2求下列非線性規(guī)劃問(wèn)題（i）編寫(xiě)M文件fun1.mfunctionf=fun1(x);f=x(1)^2+x(2)^2+8;和M文件fun2.mfunction[g,h]=fun2(x);g=-x(1)^2+x(2);h=-x(1)-x(2)^2+2;%等式約束（ii）在Matlab的命令窗口依次輸入options=optimset;[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[

4、],...'fun2',options)就可以求得當(dāng)時(shí)，最小值。1.4求解非線性規(guī)劃的基本迭代格式記（NP）的可行域?yàn)?。若，并且則稱是（NP）的整體最優(yōu)解，是(NP)的整體最優(yōu)值。如果有則稱是（NP）的嚴(yán)格整體最優(yōu)解，是(NP)的嚴(yán)格整體最優(yōu)值。若，并且存在的鄰域，使，則稱是（NP）的局部最優(yōu)解，是(NP)的局部最優(yōu)值。如果有則稱是（NP）的嚴(yán)格局部最優(yōu)解，是(NP)的嚴(yán)格局部最優(yōu)值。由于線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，可行域?yàn)橥辜蚨蟪龅淖顑?yōu)解就是整個(gè)可行域上的全局最優(yōu)解。非線性規(guī)劃卻不然，有時(shí)求出的某個(gè)解雖是一部分可行

5、域上的極值點(diǎn)，但并不一定是整個(gè)可行域上的全局最優(yōu)解。對(duì)于非線性規(guī)劃模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最優(yōu)解。迭代方法的基本思想是：從一個(gè)選定的初始點(diǎn)出發(fā)，按照某一特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)列，使得當(dāng)是有窮點(diǎn)列時(shí)，其最后一個(gè)點(diǎn)是(NP)的最優(yōu)解；當(dāng)是無(wú)窮點(diǎn)列時(shí)，它有極限點(diǎn)，并且其極限點(diǎn)是(NP)的最優(yōu)解。設(shè)是某迭代方法的第輪迭代點(diǎn)，是第輪迭代點(diǎn)，記（1）這里，顯然是由點(diǎn)與點(diǎn)確定的方向。式（1）就是求解非線性規(guī)劃模型(NP)的基本迭代格式。通常，我們把基本迭代格式（1）中的稱為第輪搜索方向，為沿方向的步長(zhǎng)，使用迭代方法求解(NP

6、)的關(guān)鍵在于，如何構(gòu)造每一輪的搜索方向和確定適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)。設(shè)，若存在，使，稱向量是在點(diǎn)處的下降方向。設(shè)，若存在，使，稱向量是點(diǎn)處關(guān)于的可行方向。一個(gè)向量，若既是函數(shù)在點(diǎn)處的下降方向，又是該點(diǎn)關(guān)于區(qū)域的可行方向，則稱之為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的可行下降方向?，F(xiàn)在，我們給出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步驟如下：0選取初始點(diǎn)，令。1構(gòu)造搜索方向，依照一定規(guī)則，構(gòu)造在點(diǎn)處關(guān)于的可行下降方向作為搜索方向。2尋求搜索步長(zhǎng)。以為起點(diǎn)沿搜索方向?qū)で筮m當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，使目標(biāo)函數(shù)值有某種意義的下降。3求出下一個(gè)迭代點(diǎn)。按迭代格式（1）求出。若已滿足某

7、種終止條件，停止迭代。4以代替，回到1步。1.5凸函數(shù)、凸規(guī)劃設(shè)為定義在維歐氏空間中某個(gè)凸集上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)以及中的任意兩點(diǎn)和，恒有則稱為定義在上的凸函數(shù)。若對(duì)每一個(gè)和恒有則稱為定義在上的嚴(yán)格凸函數(shù)?？紤]非線性規(guī)劃假定其中為凸函數(shù)，為凸函數(shù)，這樣的非線性規(guī)劃稱為凸規(guī)劃?？梢宰C明，凸規(guī)劃的可行域?yàn)橥辜渚植孔顑?yōu)解即為全局最優(yōu)解，而且其最優(yōu)解的集合形成一個(gè)凸集。當(dāng)凸規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，其最優(yōu)解必定唯一（假定最優(yōu)解存在）。由此可見(jiàn)，凸規(guī)劃是一類比較簡(jiǎn)單而又具有重要理論意義的非線性規(guī)劃。