振動(dòng)力學(xué)(梁的橫向振動(dòng))

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1、振動(dòng)力學(xué)------彈性體的振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動(dòng)。這種振動(dòng)只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。1、運(yùn)動(dòng)微分方程在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時(shí)的軸線重合。假設(shè)梁在振動(dòng)過程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向。取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號(hào)的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動(dòng)方程為：即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動(dòng)方程邊界條件和一維波動(dòng)方程一樣，要使彎曲振動(dòng)微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。梁的每一

2、端必須給出兩個(gè)邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出。2、梁彎曲自由振動(dòng)的解令振動(dòng)方程中的干擾力為0，得到對(duì)于均勻梁，振動(dòng)方程為其中假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為則有其中（稱為特征方程）方程的通解為由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個(gè)邊界條件只能確定四個(gè)積分常數(shù)之間的比值。【例1】求簡支梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0。得到以及則則以及頻

3、率方程由此解得所以固有頻率振型為第i階振型有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即【例2】求兩端固定梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率振型為【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的均勻梁彎曲振動(dòng)的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力代入特征方程的解以及進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為將邊界條件代入得到求得討論：（1）k＝0時(shí)，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無窮大時(shí)，頻率方

4、程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭?，右端簡支的情況?！舅伎碱}】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：關(guān)于振型函數(shù)的正交性和一維波動(dòng)方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對(duì)第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：用Fj左乘上式兩端，并積分上兩式相減得則i＝j(luò)時(shí)梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)和一維波動(dòng)方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）對(duì)振型函數(shù)按下式條件正則化2.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求

5、解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)?！纠?】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對(duì)此初始條件的響應(yīng)。解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci求得所以（3）初始條件。按題意變換到主坐標(biāo)下3.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)（1）分布干擾力設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵(lì)受迫振動(dòng)響應(yīng)推動(dòng)方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得（4）響應(yīng)總響應(yīng)為（2）集中力設(shè)在x＝x1處受集

6、中力F(t),這時(shí)可以用?函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx?(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時(shí)有總響應(yīng)為強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標(biāo)下的響應(yīng);（4）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長為l的簡支梁在x＝a處受集中力Fsin?t作用,求響應(yīng)。求得（3）響應(yīng)【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運(yùn)動(dòng)的荷重P的作用。

7、假設(shè)在初始時(shí)刻荷重位于梁的左端，試求強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)。解：（1）均勻簡支梁的固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）和前面一樣由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci得到（3）干擾力密度可表為（4）主坐標(biāo)下的響應(yīng)其中（5）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)固有頻率的結(jié)構(gòu)特性系統(tǒng)參數(shù)的變化與增加約束對(duì)固有頻率的影響：（1）增大剛度、增加約束，固有頻率提高;（2）增大質(zhì)量，固有頻率降低;（3）在某階固有振型取值最大的地方增大質(zhì)量，能最有效地降低該階固有頻率;（4）在某階振型曲線曲率最大的地方增大剛度，能最有效地提高該階固有頻率。