如何求定積分的原函數(shù)

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1、如何求定積分中被積函數(shù)的原函數(shù)山東省高密市康成中學(xué)管冃軍郵編261500電話13589151893信箱mjunguan@163.com利用微積分基木定理以求定積分的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，即尋找滿足FrM=/(兀)的函數(shù)F(x)?如何求出一個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)呢？我們知道求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，所以要求被積函數(shù)的原函數(shù)，首先要明確它們之間的關(guān)系：原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)，并且導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的，而被積函數(shù)的原函數(shù)是不唯一的.即若FV)=/(%),則被積函數(shù)/(x)的原函數(shù)為F(x)+c(c為常數(shù)).類(lèi)型一被積函

2、數(shù)為基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這種類(lèi)型被積函數(shù)的原函數(shù)，關(guān)鍵是要記準(zhǔn)上述基木初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，找到對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)?由基木初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知：若/⑴是被積函數(shù)，F(xiàn)⑴為原函數(shù)，貝IJ有：若f(x)=k，則F(x)=kx+c(k,c為常數(shù))；若/(x)=r,則F(x)=-^—xm+l+c{m-l,m,c為常數(shù))；m+1若=則F(x)=x+c(c為常數(shù))；若f(x)=ex,則F(兀)=『+c(c為常數(shù));X若f(x)=ax，則F(x)=-^—+c(其中Q>0,dHl,a,c為常數(shù));a若/(X)=sinx,貝ijF(x)=一cosx+c

3、(c為常數(shù));若/(x)=cosx,貝ijF(x)=sinx+c(c為常數(shù)).例1計(jì)算以下積分：(1)f(2x2--)dx；(2)f(sinx-sin2x)dx.分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)積分的性質(zhì)，先求出一些簡(jiǎn)單?被積函數(shù)的原函數(shù)，然后再進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算.顯然，只由熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，才會(huì)比較熟練地找出相應(yīng)的原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為1?,丄的一個(gè)原函數(shù)為lnx；sinx的一個(gè)原函數(shù)為3x-cosx,sin2x的一個(gè)原函數(shù)為cos2x.217解：(1)函數(shù)y=2x2——的一個(gè)原函數(shù)是y=—x3-x,x3所

4、以［2(2?--)Jx=(-?-lnx)2=(—-ln2)-(--lnl)=—-ln2?山x31333x-sin2x)dx=(-cosx+—cos2x)評(píng)注：在求這種類(lèi)型的定積分時(shí)，要熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用這些公式的逆運(yùn)算便可求出原函數(shù).在計(jì)算定積分時(shí)我們一般取c=0時(shí)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，這樣可減少運(yùn)算量.類(lèi)型二被積函數(shù)為分段函數(shù)根據(jù)定積分的定義以及微積分基本定理，定積分可以分解為多個(gè)區(qū)間上的定積分的和，所以求分段函數(shù)的原函數(shù)，必須根據(jù)被積函數(shù)的定義在不同區(qū)間上進(jìn)行求解，然后根據(jù)定積分的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.例2求下列

5、定積分：71(2)4x-2tt,xe[0,—]cosxe2分析：這兩個(gè)小題實(shí)質(zhì)上都是求分段函數(shù)的積分，可以利用定積分的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)⒎e分區(qū)間分成兒段，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，相加即可.-2x+3,x<—解：(1)VI3-2xl=J22x—3,兀>—2+(兀2—3兀)=—.i2232???(13—2兀丨dx=F(3—2x)dx+&(3—2x)dx=(3x-x2)2nn(2)f(x)dx=Ff(x)cbc+1、f(x)dx=f(4x一2兀)dx+]cosxdx22=(2x2一2龍兀)+sinx”2丄疔一龍'+0+sin龍

6、一sin蘭二一丄7i2-222[f{x)dx=--7T2一1.評(píng)注：分段函數(shù)在不同的取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)不同對(duì)應(yīng)法則的一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)，所以求解這類(lèi)函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，要根據(jù)分段函數(shù)的定義，把被積函數(shù)分解到不同的區(qū)間內(nèi)，分別求出原函數(shù),然后利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)，把不同區(qū)間內(nèi)的定積分求和即可.類(lèi)型三被積函數(shù)為積或商的形式這種形式屮的被積函數(shù)，很難直接求擊原函數(shù)，需要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為一些基木初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差，然后利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.例3求f（f）g分析：該積分屮的被積函數(shù)式比較復(fù)雜，無(wú)法直接求出原函數(shù)，所以應(yīng)先化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)

7、化為一些被積函數(shù)的和或差，然后求定積分.解析:??(兀+1)(兀2—3)?+x2-3x-31111—=—XH叮中4十X卩1Jl(~x)dx+3x23兀233…2f21f21C2

8、g+f(-嚴(yán)n-尹=(^)

9、>(

10、x)

11、：-lnx

12、：-(4)

13、：=-+-+lnl-ln2--=--ln2.2323所以評(píng)注：這種類(lèi)型的定積分，僅限于被積函數(shù)由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算得到,可通過(guò)化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)被積函數(shù)的和或差的形式，根據(jù)定積分的運(yùn)算性質(zhì)，原函數(shù)就等于化簡(jiǎn)后的幾個(gè)被積函數(shù)的原函數(shù)的和或差.對(duì)于較為復(fù)朵的被積函數(shù)的原函數(shù)的求解，要等到

14、我們進(jìn)入大學(xué)深造進(jìn)一步研究.