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《排隊論之簡單排隊系統(tǒng)》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、5.2.4無限源的簡單排隊系統(tǒng)所謂無限源的簡單排隊系統(tǒng)是指顧客的來源是無限的,輸入過稈是簡單流,服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)。本節(jié)我們討論一些典型的簡單排隊系統(tǒng)。I.M/M/1/oo排隊系統(tǒng)M/M/1/oo排隊系統(tǒng)是單服務(wù)臺等待制排隊模型,可描述為:假設(shè)顧客以Poisson過程(具有速率2)到達(dá)單服務(wù)員服務(wù)臺,即相繼到達(dá)時間間隔為獨立的指數(shù)型隨機變量,具有均值1/2,若服務(wù)員空閑,則直接接受服務(wù),否則,顧客排隊等待,服務(wù)完畢則該顧客離開系統(tǒng),下一個排隊中的顧客(若有)接受服務(wù)。相繼服務(wù)時間假定是獨立
2、的指數(shù)型隨機變量,具有均值"。兩個M指的是相繼到達(dá)的間隔時間和服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布,1指的是系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺,oo指的是容量為無窮大,而且到達(dá)過程與服務(wù)過程是彼此獨立的。為分析之,我們首先確定極限概率幾,〃=0,1,2,???,為此,假定有無窮多房問,標(biāo)號為0,1,2,...,并假設(shè)我們指導(dǎo)某人進入房間斤(當(dāng)有”個顧客在系統(tǒng)中),則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移框圖如圖5.8所示。圖5.8M/M/1/oo排隊系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率框圖由此,我們有狀態(tài)0/?,n>1離開速率=進入速率解方程組,容易得到(QyPi=-Po,丿
3、,=0丄2,…再根據(jù)得到:幾=(芻(1-2),讓1“A令p=M卩,則p稱為系統(tǒng)的交通強度(trafficintensity)o值得注意的是這里要求pvl,因為若p>l,則幾=0,且系統(tǒng)中的人數(shù)隨著時間的推移逐漸增多直至無窮,因此對大多數(shù)單服務(wù)排隊系統(tǒng),我們都假定/?4、—==—2—,n
5、,”<1b=/—/I(5-56)8,/?>1一個忙期中所服
6、務(wù)的平均顧客數(shù)為,p<=<-p(5-57)X,p>1不難看出,在忙期內(nèi)相繼輸出的間隔時間是獨立、同參數(shù)A(>0)的隨機變量,即為參數(shù)“的Poisson流。但是,當(dāng)系統(tǒng)空閑后,從開始空閑時刻起,到下一個顧客服務(wù)完畢離去吋之I'可的I'可隔吋I'可顯然不與服務(wù)吋I'可同分布。下面簡要推導(dǎo)一下M/M/1/oo排隊系統(tǒng)的輸出過程特征。令盯表示第〃個顧客服務(wù)完畢的離去時刻,則7;二-盯表示離去的間隔時間,n>l,于是,對r>0,P{T:+i-T;>t}=P{N;=Q}^P{T:+l-T:>tN;=0}^P
7、[N:>l}P{T^-T:>tN:>l}=P{N:=0}-P{tn+^Sn+l>t}+P{N:ni}其'11fll+i表示剩余到達(dá)間隔時間,與S”+
8、(服務(wù)時間間隔)獨立,而N;表示第斤個離去顧客服務(wù)完畢離開系統(tǒng)時的隊長。由于*fl-Z?,/7<1,limP{N;=0}=q"宀”[0,p>l,而P{盒+]+S”4>『}=斗嚴(yán)(根據(jù)兩獨立隨機變量和的分布計算公jLl—AjLl—A式計算),所以P{T:+l-T:>t]=(l-p)斗嚴(yán)]+p嚴(yán)(5-58)此式表示在統(tǒng)計平衡下,相繼輸出的間隔時間服從參數(shù)
9、A(>0)的負(fù)指數(shù)分布。例5.5某通信團電話維修站,有1個維修技師,每天工作10小時。待維修電話的到來服從Poisson分布,每天平均有90部電話到來,維修時間服從指數(shù)分布,平均速率為“=10部/小吋。試求排隊等待維修的平均電話數(shù);等待維修電話的多于2部的概率;如杲使等待維修的電話數(shù)平均為2部,維修速率應(yīng)提高多少?解:這是一個M/M/1/oo模型J已知2=9,“=10,則p=-=0.9A2①Lo—=8」l-p②1_(幾+戸+必)二1_—)£_(1_心2二0?729?2=Lo=^---=—--解得:“=
10、12.29口一九“〃一9“所以,接待速率應(yīng)提高:“一10=2.29。例5.6假設(shè)顧客以Poisson速率為每12分鐘1人到達(dá),服務(wù)時間是指數(shù)型的且服務(wù)速率是每8分鐘服務(wù)1個人,厶和W分別是多少?解:因為2=—(人/分),//=-(人/分),我們得到:128L=2,W=24因此,系統(tǒng)屮顧客的平均個數(shù)為2,顧客在系統(tǒng)中平均花費的時間是24分鐘?,F(xiàn)假設(shè)到達(dá)速率提高20%到2二丄,重新計算厶和W得到10£=4,W=40因此,到達(dá)速率20%的增加導(dǎo)致系統(tǒng)中平均顧客