排隊論之簡單排隊系統(tǒng)

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1、5.2.4無限源的簡單排隊系統(tǒng)所謂無限源的簡單排隊系統(tǒng)是指顧客的來源是無限的，輸入過稈是簡單流，服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布的排隊系統(tǒng)。本節(jié)我們討論一些典型的簡單排隊系統(tǒng)。I.M/M/1/oo排隊系統(tǒng)M/M/1/oo排隊系統(tǒng)是單服務(wù)臺等待制排隊模型，可描述為：假設(shè)顧客以Poisson過程（具有速率2）到達(dá)單服務(wù)員服務(wù)臺，即相繼到達(dá)時間間隔為獨立的指數(shù)型隨機變量，具有均值1/2,若服務(wù)員空閑，則直接接受服務(wù)，否則，顧客排隊等待，服務(wù)完畢則該顧客離開系統(tǒng)，下一個排隊中的顧客（若有）接受服務(wù)。相繼服務(wù)時間假定是獨立

2、的指數(shù)型隨機變量，具有均值"。兩個M指的是相繼到達(dá)的間隔時間和服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，1指的是系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，oo指的是容量為無窮大，而且到達(dá)過程與服務(wù)過程是彼此獨立的。為分析之，我們首先確定極限概率幾，〃=0,1,2,???，為此，假定有無窮多房問，標(biāo)號為0,1,2,...,并假設(shè)我們指導(dǎo)某人進入房間斤（當(dāng)有”個顧客在系統(tǒng)中），則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移框圖如圖5.8所示。圖5.8M/M/1/oo排隊系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率框圖由此，我們有狀態(tài)0/?,n>1離開速率=進入速率解方程組，容易得到(QyPi=-Po,丿

3、,=0丄2,…再根據(jù)得到:幾=(芻(1-2),讓1“A令p=M卩,則p稱為系統(tǒng)的交通強度(trafficintensity)o值得注意的是這里要求pvl,因為若p>l,則幾=0,且系統(tǒng)中的人數(shù)隨著時間的推移逐漸增多直至無窮，因此對大多數(shù)單服務(wù)排隊系統(tǒng)，我們都假定/?

4、—==—2—,n

5、，”<1b=1一個忙期中所服

6、務(wù)的平均顧客數(shù)為,p＜=＜-p（5-57）X,p＞1不難看出，在忙期內(nèi)相繼輸出的間隔時間是獨立、同參數(shù)A（＞0）的隨機變量，即為參數(shù)“的Poisson流。但是，當(dāng)系統(tǒng)空閑后，從開始空閑時刻起，到下一個顧客服務(wù)完畢離去吋之I'可的I'可隔吋I'可顯然不與服務(wù)吋I'可同分布。下面簡要推導(dǎo)一下M/M/1/oo排隊系統(tǒng)的輸出過程特征。令盯表示第〃個顧客服務(wù)完畢的離去時刻，則7；二-盯表示離去的間隔時間，n＞l,于是，對r＞0,P{T：+i-T；＞t}=P{N；=Q}^P{T：+l-T：＞tN；=0}^P

7、[N：＞l}P{T^-T：＞tN：＞l}=P{N：=0}-P{tn+^Sn+l＞t}+P{N：ni}其'11fll+i表示剩余到達(dá)間隔時間，與S”+

8、（服務(wù)時間間隔）獨立，而N；表示第斤個離去顧客服務(wù)完畢離開系統(tǒng)時的隊長。由于*fl-Z?,/7＜1,limP{N；=0}=q"宀”[0,p＞l,而P{盒+]+S”4＞『}=斗嚴(yán)（根據(jù)兩獨立隨機變量和的分布計算公jLl—AjLl—A式計算），所以P{T：+l-T：＞t]=（l-p）斗嚴(yán)]+p嚴(yán)（5-58）此式表示在統(tǒng)計平衡下，相繼輸出的間隔時間服從參數(shù)

9、A（＞0）的負(fù)指數(shù)分布。例5.5某通信團電話維修站，有1個維修技師，每天工作10小時。待維修電話的到來服從Poisson分布，每天平均有90部電話到來，維修時間服從指數(shù)分布，平均速率為“=10部/小吋。試求排隊等待維修的平均電話數(shù)；等待維修電話的多于2部的概率；如杲使等待維修的電話數(shù)平均為2部，維修速率應(yīng)提高多少？解：這是一個M/M/1/oo模型J已知2=9,“=10,則p=-=0.9A2①Lo—=8」l-p②1_(幾+戸+必)二1_—)￡_(1_心2二0?729?2=Lo=^---=—--解得：“=

10、12.29口一九“〃一9“所以，接待速率應(yīng)提高：“一10=2.29。例5.6假設(shè)顧客以Poisson速率為每12分鐘1人到達(dá)，服務(wù)時間是指數(shù)型的且服務(wù)速率是每8分鐘服務(wù)1個人，厶和W分別是多少？解：因為2=—(人/分)，//=-(人/分)，我們得到：128L=2,W=24因此，系統(tǒng)屮顧客的平均個數(shù)為2,顧客在系統(tǒng)中平均花費的時間是24分鐘?，F(xiàn)假設(shè)到達(dá)速率提高20%到2二丄，重新計算厶和W得到10￡=4,W=40因此，到達(dá)速率20%的增加導(dǎo)致系統(tǒng)中平均顧客