插值法及其應(yīng)用【文獻綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計文獻綜述信息與計算科學(xué)插值法及其應(yīng)用插值問題是數(shù)值計算中基礎(chǔ)而又核心的問題.在許多實際問題及科學(xué)研究中,因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系,然而,這種關(guān)系經(jīng)常很難有明顯的解析表達,通常只是有觀察與測試得到一些離散數(shù)值.有時即使給出了解析表達式,卻由于表達過于復(fù)雜,不僅使用不便,而且不易與進行計算與理論分析.例如在工程實際問題中,我們也經(jīng)常會碰到諸如此類的函數(shù)計算問題,被計算的函數(shù)有時不容易直接計算,如表達式過于復(fù)雜或者只希望能用一個“簡單函數(shù)”逼近被計算函數(shù),然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似代替被計算函數(shù)的函數(shù)值.這種方法就叫插值逼近或者插

2、值法.插值法要求給出函數(shù)的一個函數(shù)表,然后選定一種簡單的函數(shù)形式,比如多項式、分段線性函數(shù)及三角多項式等,通過已知的函數(shù)表來確定一個簡單的函數(shù)作為的近似,概括地說,就是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型.插值方法是一類古老的數(shù)學(xué)方法,它來自生產(chǎn)實踐.早在數(shù)千多年前,由于經(jīng)典的牛頓力學(xué)尚未誕生,因而人們無法用解析式描述日月五星的運行規(guī)律.我們的祖先憑借插值方法,利用對日月五星運行規(guī)律的有限個觀測值獲得了比較完整的日月五星的運行規(guī)律.在一千多年前的隋唐時期,中華先賢在制定歷法的過程中就已經(jīng)廣泛地運用了插值技術(shù).公元6世紀(jì),隋朝劉焊已將等距結(jié)點

3、的二次插值應(yīng)用于天文計算.但插值的基本理論和結(jié)果是在微積分產(chǎn)生以后才逐步完善的,隨后其應(yīng)用也日益增多,特別是在電子計算機廣泛使用以后,由于航空、造船、精密機械加工等實際問題的需要,使插值法在實踐上或理論上顯得更為重要,并得到進一步發(fā)展.經(jīng)典的插值方法以Taylor插值和Lagrange插值為代表.Taylor插值利用函數(shù)在定義域內(nèi)某點處的階至n階導(dǎo)數(shù)信息給出復(fù)雜函數(shù)或未知函數(shù)的近似多項式表達式,Lagrange插值利用多個離散點的函數(shù)信息給出函數(shù)的近似多項式的表達式,進一步根據(jù)插值結(jié)果對復(fù)雜函數(shù)或未知函數(shù)相關(guān)的理論和應(yīng)用問題做出討論.因

4、此Taylor插值和Lagrange插值有著緊密的聯(lián)系,Taylor插值可以看作Lagrange插值的極限形式；Lagrange插值則是Taylor插值的離散化形式.Lagrange插值的優(yōu)點是插值多項式特別容易建立,32缺點是增加節(jié)點時原有多項式不能利用,必須重新建立,即所有基函數(shù)都要重新計算,這就造成計算量的浪費；Newton插值多項式是代數(shù)插值的另一種表現(xiàn)形式,當(dāng)增加節(jié)點時它具有所謂的“承襲性”..在很多實際應(yīng)用問題中,為了保證插值函數(shù)能更好的密合原來的函數(shù),不但要求插值函數(shù)“過點”,即插值函數(shù)和被插值函數(shù)在節(jié)點上具有相同的函數(shù)值

5、,而且要求“相切”,即兩者在節(jié)點處還具有相同的導(dǎo)數(shù)值,這類插值稱作切觸插值,即Hermite插值.由于Taylor插值利用的是“一點”的各階導(dǎo)數(shù)信息,Lagrange插值利用的“多點”函數(shù)信息,而Hermite插值即利用函數(shù)值信息又利用導(dǎo)數(shù)信息,所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的綜合和推廣.現(xiàn)在,插值技術(shù)應(yīng)用越來越廣泛了.當(dāng)我們尚未認(rèn)識到某一事物的本質(zhì)時,常從其觀測點出發(fā),利用插值技術(shù)以加深或拓展對該事物的認(rèn)識或解決某些特定的問題.密鑰共享即是插值法的應(yīng)用之一.在現(xiàn)代密碼體制中,數(shù)據(jù)的加密算法是公開的,數(shù)據(jù)

6、的安全性主要取決于對密鑰的保護.現(xiàn)在基于Lagrange插值多項式也研究出了一種密鑰共享方法,解決了密鑰保護問題.目前實際中使用的也不僅僅局限與上述的插值方法,很多都是對經(jīng)典方法的改進,例如《空間插值法在地階梯度場中的分析》一文中介紹了4種空間插值法在房產(chǎn)估值中的應(yīng)用,4種空間插值方法都各有優(yōu)缺點,作者通過對各種方法研究比較,最后選擇克里金插值法作為住宅用地地價梯度場研究的主要方法.根據(jù)其研究成果房地產(chǎn)決策者和規(guī)劃者可以對城市居住用地的土地利用向最有效使用方向調(diào)整,最大限度的實現(xiàn)土地的最高使用價值.隨著計算機的發(fā)展以及圖像處理的重要性,

7、插值法在計算機圖像處理中也有著重要的作用.圖像放大是一種常用的數(shù)字圖像處理技術(shù),在航天航天、醫(yī)學(xué)、通訊、多媒體等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,常用的圖像插值算法中,最臨近插值算法的實現(xiàn)最為簡單、方便,但它只是原始像素簡單復(fù)制到其鄰域內(nèi),放大圖像會出現(xiàn)明顯的方塊或鋸齒,即我們平時所說的失真.目前較為好的方法之一即雙線性插值算法,雙線性插值算法利用映射點在輸入圖形的4個鄰點的灰度值對映射點進行插值,即插值點處的數(shù)值用待插點最近的4個點的值加權(quán)求得.雙線性插值能夠較好的消除鋸齒,放大后圖像平滑性好.但是其缺點是圖像高頻信息丟失嚴(yán)重,即圖像細(xì)節(jié)與輪廓的模

8、糊,影響了放大圖像的清晰度.因此在雙線性插值放大技術(shù)的基礎(chǔ)之上,加入邊緣銳化處理,增強平滑圖像的輪廓,使放大后的圖像有較好的清晰度.插值法的基本理論和結(jié)果是在微積分產(chǎn)生以后才逐步完善的,其應(yīng)用也日益增多,特