文獻綜述呂懷遠

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1、溫州大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)設(shè)計（論文）(2012屆)（文獻綜述）題目：一元次方程解的存在性與求解方法的發(fā)展史學院:數(shù)學與信息科學?！　I(yè):數(shù)學與應用數(shù)學班　　級:08數(shù)本1姓名:呂懷遠學號:08109323119指導老師:何文明5溫州大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文一元次方程解的存在性與求解方法的發(fā)展史文獻綜述摘要：一元次方程解的存在性與求解方法在數(shù)學的發(fā)展過程中曾起過非常重要的作用，在中學數(shù)學中我們主要接觸了一元一次方程與一元二次方程的解法，但并沒有學習一元三次方程與一元四次方程的解法，在復變函數(shù)中我們知道任意一個一元次方程在復數(shù)域中都存在解，但并沒有學習對

2、于一般的一元次方程，是否存在解法。關(guān)鍵字:一元次方程/存在性/求解方法學習的認知結(jié)構(gòu)理論告訴我們：數(shù)學學習過程，是一個數(shù)學認知過程，其實質(zhì)是一個數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，數(shù)學思想在數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中發(fā)揮著極為重要的作用。數(shù)學思想也可以看做是數(shù)學知識的組成部分。中學數(shù)學教學內(nèi)容是數(shù)學課本中的表層內(nèi)容，數(shù)學思想處于潛形態(tài)。對一元二次方程的研究與應用在古代中國，一元二次方程的研究有著極其悠久的歷史，是中國古代數(shù)學的非凡成就之一。早在古老的數(shù)學名著<<九章算術(shù)>>中就有一元二次方程求解問題，不僅給出了“開帶平方”法，還給出其他的一些解法，這在當時都是無與倫比的成就。后來還有一大批中國數(shù)學家在

3、理論和應用方面繼續(xù)深入研究，并取得了重大的成果。公元3世紀，我國出現(xiàn)了利用公式求二次方程根的做法。三國時的趙爽對二次方程做出的貢獻十分突出，他巧妙的應用“出入相補原理”，由幾何圖形的直觀出發(fā)，在《勾股圓方圖注》中，列出了關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系和由此引申的一系列命題和結(jié)論。公元724年唐朝數(shù)學家張一行，對方程采用了公式來求解。公元3世紀，楊輝又分別使用了公式和求和的根。中國人發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式的運用比法國數(shù)學家韋達要早1000多年。外國對二次方程的研究要遠落后于中國，埃及人和巴比倫人都嘗試過解形如的二次方程。亞歷山大時代的希臘數(shù)學家赫龍對這種二次方程作了一般性

4、的處理。將這種二次方程以作為最一般的形式加以研究討論是印度數(shù)學家阿里阿巴他、布拉馬格普他和巴斯卡，當時他們都了解正數(shù)和負數(shù)，也懂得正數(shù)有兩個平方根，所以二次方程有兩個根。公元前2世紀，希臘數(shù)學家海倫用配方法解出了的解，因為海倫沒有負數(shù)的概念，所以他得出的也只是一個正根。公元7世紀，印度天文學家婆羅摩籍多給出了與海倫類似的公式。5溫州大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文公元9世紀，中亞細亞的烏茲別克人阿爾.花喇子模在他的名著《代數(shù)》里羅列了各種類型的二次方程的解法，但這些解法都任是幾何的，其實質(zhì)和中國的出入相補原理相似，但是他有另一個重要的貢獻就是他提出了“移項”，“合并同類項”的方法

5、，這不僅使方程變形容易的多而且還可以用過移項使方程的負數(shù)項變?yōu)檎禂?shù)項，能求含有負系數(shù)項的二次方程的根。公元12世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅在婆羅摩籍多的基礎(chǔ)上發(fā)展了她的成就：一是把婆羅摩籍多的公式給出了完整而又清楚的表述;二是給出了求根公式；三是確認二次方程有兩個根，承認了復根的存在。一元高次方程的發(fā)展1799年，年僅22歲的德國數(shù)學家高斯在他的博士論文中首先證明了“代數(shù)基本定理”：復數(shù)域上任一個次數(shù)大于零的多項式，至少有一個復數(shù)根。根據(jù)代數(shù)基本定理可以推出：復數(shù)域上次多項式恰有個復數(shù)根，其中重根以個根計算。這一結(jié)論也可以用多項式的因式分解語言來敘述：“復數(shù)域上任何次多項式都可以分解

6、成個一次式的乘積。”代數(shù)基本定理是一個純粹的多項式根的存在定理，它沒有給出求根的具體方法三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是說，是否有求根公式？經(jīng)過漫長的研究之路，直到16世紀，意大利數(shù)學家卡當（Candano）及其助手才先后給出了三次和四次方程的根式解。不失一般性，可以設(shè)三次方程中的系數(shù)為1，則三次方程為①其中是任意復數(shù)。若令，則三次方程簡化為②其中，，設(shè)表示簡化方程②的根，則據(jù)根與方程系數(shù)的關(guān)系，得。若令，。對于適當確定的立方根，卡當公式是，，5溫州大學數(shù)學與信息科學學院本科畢業(yè)論文求解線性方程組，得到，于是，原三次方程的三個根為，，。其中，（是虛數(shù)單位）。對于四次方程求

7、根，就更加復雜了。但數(shù)學家們還是找到了一個解四次方程的辦法。與三次情形類似，用一個平移，消去方程的這一項，于是可假定四次方程為③然后構(gòu)造方程的預解式④這是的三次方程。通過這個三次方程解出，把得到的代入，可以把原方程化為兩個二次方程來求根。因而可以說，對于次數(shù)不超過4的方程，都可以找到根的計算公式，使得方程的每個根可以用方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運算表示出來。做這件事就叫做根式求解。由四次方程根式可解的突破，使當時許多著名的數(shù)學家?guī)缀醵枷嘈湃我獾奈宕畏匠桃惨欢梢愿?/p>