追本溯源變式拓展

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1、追本溯源變式拓展——例談中考?jí)狠S題的變式教學(xué)朱桂平(江蘇省泰州市九龍實(shí)驗(yàn)學(xué)校)【摘要】壓軸題是中考試題的制高點(diǎn),如何攻克這個(gè)制高點(diǎn)？靠題海戰(zhàn)術(shù)不行，就題講題更不行.解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵是確立思路，思路從何而來？尋找解題思路就是把待解決的問題歸結(jié)為一類熟悉的模型，對(duì)各類模型的融會(huì)變通，有助于解題能力的提高.追木溯源，再對(duì)原題進(jìn)行變式、拓展，有助于學(xué)牛解題能力的提高.【關(guān)鍵詞】中考?jí)狠S題;模型；聯(lián)想；變式；拓展怎樣解中考?jí)狠S題？關(guān)鍵是確立解題思路.中考復(fù)習(xí)過程中，如何教會(huì)學(xué)生確立解題思路呢？?jī)H靠題海戰(zhàn)術(shù)絕非良策，而就題講題只會(huì)狹隘學(xué)生的思維，當(dāng)遇到新的

2、題型時(shí)，學(xué)生就無所適從了！結(jié)合多年的實(shí)踐與反思，筆者以為，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提取不同題口的模型,準(zhǔn)確洞察各類問題的本質(zhì)，在融會(huì)理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式、拓展，掌握通性通法,才能切實(shí)提高學(xué)生解決壓軸題的能力.下面以2013泰州屮考第25題為例談?wù)剦狠S題的變式教學(xué).原題呈現(xiàn)：如圖1,矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD圖1上，且與點(diǎn)C^D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,連接PQ,PQ的中點(diǎn)為M.(1)求證：AADP^AABQ；(2)若AD=10,AB=20,點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長(zhǎng)的最

3、小值;(3)若AD=10,AB二a,DP=8,隨著。的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍.從教學(xué)策略方而考慮，講解壓軸題可以直接呈現(xiàn)原題，也可以由教師捉取與原題有關(guān)的模型作為教學(xué)素材.通過對(duì)一類模型的分析、理解、變通，能讓學(xué)生理清解題思路，由“做一題”，到“會(huì)一類”，最終“通一片”，也就是獲得通性通法.1.追本溯源模型的提取一般通過聯(lián)想來實(shí)現(xiàn)，模型可以是課木上出現(xiàn)的題目，也可以是幾何屮的基本圖形、代數(shù)方面的基本類型以及常見的數(shù)學(xué)思想方法.模型的提取有利于學(xué)生確立解題思路，BIJ：從何處下手，向何方前進(jìn)

4、.木題的模型是“直角頂點(diǎn)處直角的旋轉(zhuǎn)”，源自蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)76頁(yè)習(xí)題2.追本溯源:如圖2,P為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),將△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ,連接PQ,試判斷AAPQ的形狀.（解析略）【設(shè)計(jì)思路】提取以正方形為背景的模型，是一次曲一般到特殊轉(zhuǎn)化的過程，旨在通過對(duì)特殊圖形的研究，把特殊圖形的解題策略遷移到一?般圖形?小考復(fù)習(xí)的重要任務(wù)就是幫助學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化，給學(xué)生一些規(guī)律性的東西，以捉供聯(lián)想的素材，為確立解題思路服務(wù).2.模型變式在平時(shí)的教學(xué)中，進(jìn)行習(xí)題變式的教學(xué)，特別是課

5、本習(xí)題的變式教學(xué)，不僅能加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，更重要的是在開發(fā)學(xué)生智力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.結(jié)合上面呈現(xiàn)的原題，對(duì)模型進(jìn)行相應(yīng)的變式，可以更好地發(fā)揮模型的作用.通過對(duì)特殊情形的深入研究，有利于解決一般的問題.變式1：如圖3,若M為PQ的屮點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問題：(1)M在△ABQ的外接圓上；(2)B、M、D三點(diǎn)共線；(3)PC=72BM；【設(shè)計(jì)思路】(1)結(jié)合原題，可知M是直角三角形APQ斜邊上的中點(diǎn).在模型中，由于AAPQ是等腰直角三角形，可以發(fā)現(xiàn)AM丄PQ,再結(jié)合題口小的直角三角形ABQ,問題(1)隨之構(gòu)建.(2)進(jìn)

6、一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，B、M、D可能在同一條直線上，怎么去驗(yàn)證呢？結(jié)合第(1)小題的結(jié)論得：ZABM=ZAQM=45°，而ZABD二45°,所以B、M、D三點(diǎn)共線.在教學(xué)吋，可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察、猜想，從而提出問題，進(jìn)而解決提出的問題.(3)繼續(xù)分析圖形的特征，把目光集中在直角三角形PQC中，BM與PC是否存在什么關(guān)系呢？此時(shí)M為關(guān)鍵點(diǎn),如圖4,作MN丄BC于N,則MN為AQPC的中位線,△BMN為等腰直角三角形(基本圖形).容易得到PC=V2BM.當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論述可以通過分析、聯(lián)想，證厶APC-AAMB得到.對(duì)模型的變式可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉圖形的

7、特征，幫助學(xué)生借助模型解決不同的問題，為解決原題做好鋪墊.1.原題解析(1)與模型比較，原題的背景變?yōu)榫匦?，解題策略由全等到相似，從特殊到一般，方法相通.(1)±B/V2=y這個(gè)特別的條件展開聯(lián)想，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生提取“直角三角形”的模型，并運(yùn)用勾股定理解決問題.如圖4,作MN丄QC于N,可得：y=MN2+BN?,結(jié)合第(1)題的結(jié)論與中位線的特征，可以用x表示出線段MN和BN,可得：y=-x2-20x+125(0

8、題時(shí)，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)“符號(hào)思想”在解決幾何問題時(shí)的重要作用，齊種數(shù)學(xué)思想方法也是重要的數(shù)學(xué)模型.(2)木題可以運(yùn)用“特殊值思想”靈活解答：如圖5,當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上