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《諧波恢復(fù)仿真分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、諧波恢復(fù)一.諧波恢復(fù)的基本理論與方法：1.Pisarenko諧波分解理論諧波過(guò)程可用差分方程描述，首先利用Pisarenko諧波分解理論推導(dǎo)諧波過(guò)程所對(duì)應(yīng)的差分方程。對(duì)單個(gè)正弦波x(n)=sin(2龍力?+&)利用三角函數(shù)恒等式，有：x(n)-2cos(2/r/)x(〃-1)+x(n-2)=0對(duì)上式作z變換，得：[1-2cos(2^/)z_1+z一彳]X(z)=0得到特征多項(xiàng)式：1-2cos(2;t/)zT+z—2=0。由此可見，正弦波的頻率可以由相應(yīng)特征方程的一對(duì)共輒根來(lái)決定：/=
2、arctan[
3、Im(zJ/Re(zz)]
4、/2^將單個(gè)正弦波推廣到多個(gè)正弦波的情形，得：如果p個(gè)實(shí)的正弦波信號(hào)沒(méi)有重復(fù)頻率的話，則這P個(gè)頻率應(yīng)該由特征多項(xiàng)式]+qz_++a2p1z_(2/,_,)4-z"2,7=0?????(1)的根決定。由此可得到p個(gè)實(shí)正弦波所組成的諧波過(guò)程可以用以下的差分方程進(jìn)行描述：2px(n)+^aix(n-i)=Qi=這是一個(gè)無(wú)激勵(lì)的AR過(guò)程。2.諧波恢復(fù)的ARMA建模法在無(wú)激勵(lì)的AR模型差分方程x(n)+a,x(n-0=0兩邊同乘x(n-k),并/=1取數(shù)學(xué)期望，則有:R=k)+工
5、_i)=ONk(2);=1正弦波過(guò)程一般是在加性白噪聲中被觀測(cè)的，設(shè)加性白噪聲為函力，即觀測(cè)過(guò)程為：y(n)=兀(斤)+vv(/2)=工4sin(2疋加+0)+班“)，其中職斤)為0/=i均值的高斯白噪聲。由于諧波過(guò)程與加性白噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以有：盡依K燈+R")WQ+帀(Q(3)將(3)式代入(2)式得：2pRg+工eRy(k-i)=0,k>2p(4)/=!這就是加性白噪聲中觀測(cè)到的p個(gè)正弦信號(hào)所組成的諧波信號(hào)的ARMA過(guò)程的所服從的法方程。1.諧波恢復(fù)方法利用以上兩種理論所推導(dǎo)的結(jié)果，可以通過(guò)
6、以下方法進(jìn)行本題的仿真實(shí)驗(yàn)(程序見附頁(yè))：(1.)根據(jù)題目要求給出仿真數(shù)據(jù)x(n)=>/20sin(2>r0.2n)+V2sin(2^0.213/t)+其中nVO為0均值，單位方差的高斯白噪聲。(2.)求兀(斤)的自相關(guān)矩陣Rxx(3.)利用上面推導(dǎo)出來(lái)的(4)式給出該諧波過(guò)程的ARMA過(guò)程所服從的法方程。其中公式中的y對(duì)應(yīng)題目中的X。(4.)若用最小二乘方法，則根據(jù)題目要求，可直接取AR階數(shù)2p分別為4和6,然后用最小二乘法求解法方程，得出AR參數(shù)的估計(jì)值若用總體最小二乘方法，則取較大的M和Pe,
7、列出法方程的增廣矩陣，求出該矩陣的有效秩(即AR階數(shù)的估計(jì)值)后，再用課本66頁(yè)的總體最小二乘方法求得AR參數(shù)的估計(jì)值坷衛(wèi)2，,0”。(5.)將所求得的AR參數(shù)％色，，勺代入(1)中，得該諧波過(guò)程的特征方程，求解該特征方程得其模為1的共輒復(fù)根。(6.)由式=
8、arctan[Im(zz)/Re(z;.)J
9、/2^即可求得正弦波頻率的估計(jì)值。一.AR參數(shù)和正弦波頻率估計(jì)值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果根據(jù)以上理論及方法分別編寫最小二乘和總體最小二乘的matlab程序，各獨(dú)立運(yùn)行20次，其結(jié)果及統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：1.最小二乘(1
10、.)AR階數(shù)為4arMatrix二Columns1through12-0.4598-0.3507-0.1278-0.0943-0.3434-0.0737-0.2146-0.2919-0.3176-0.2331-0.7039-0.32750.88060.75430.80320.64900.90860.80110.64120.93840.68711.09461.03730.73500.16930.31330.41790.53400.22380.45620.46860.23660.37760.1731-0
11、.07780.3412-0.0202-0.07580.1129-0.02020.08420.1405-0.10230.1457-0.12190.3371-0.0110-0.0785Columns13through20-0.1600-0.2792-0.2207-0.1843-0.7587-0.2687-0.2143-0.48260.82840.71970.73270.65410.81801.00690.73440.88660.38460.37810.40420.47780.02830.20560.41
12、120.14850.1174-0.0642-0.0133-0.0708-0.26170.2302-0.0082-0.0244ar_mean=-0.30530.81560.30360.0148ar_var=0.03260.01740.02570.0186fvMatrix=Columns1through12000.120000.17090.120700.179300.1963000.20000.19990.19970.19980.19970.19990.19970.199
