非線性方程求根

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1、非線性方程求根系別計算機(jī)系專業(yè)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)號200808111028姓名楊輝非線性方程求根摘要隨著科學(xué)技術(shù)，生產(chǎn)力經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，在科學(xué)與工程計算中存在著大量方程求根問題，例如貸款購房問題，工廠的最佳訂貨問題等都需要求解一類非線性方程的根，而本文就針對這些求根問題提出了解決方案，本文利用牛頓迭代法來結(jié)決方程的求根問題．首先根據(jù)實際問題列出數(shù)學(xué)模型，確定變量，給出各個條件及相關(guān)函數(shù)；然后對建立的模型進(jìn)行具體分析和研究，選擇合適的求解方法；編寫函數(shù)的程序，用計算機(jī)求出方程的解，通過所求解分析具體情況．關(guān)鍵詞：

2、非線性方程，牛頓迭代法，Matlab1緒論1.1非線性方程求根的背景牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種求解方程．多數(shù)方程不存在求根公式，從而求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要．而在各種科學(xué)和工程計算中往往要用到非線性方程組的求解，而牛頓法又是最基礎(chǔ)的迭代法，在各種計算力學(xué)、控制工程等領(lǐng)域中發(fā)揮了不可代替的作用．而在數(shù)值計算中，非線性方程組的求解同樣具有重要意義．隨著計算機(jī)技術(shù)的成熟和高速發(fā)展，對于非線性方程求根問題出現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB,Matheamatica

3、,Maple,SAS,SPSSD等），計算機(jī)已經(jīng)成為工程師應(yīng)用數(shù)學(xué)解決工程問題的主要運算工具．同時，工程專業(yè)的學(xué)生對數(shù)學(xué)教育的需求重點正在從手工演繹和運算能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)變到結(jié)合計算機(jī)軟件進(jìn)行建模、求解和論證能力的培養(yǎng)．本文采用Matlab作為軟件平臺，介紹了非線性方程求根的內(nèi)容．1.1非線性方程求根的目的為了推動科學(xué)的進(jìn)步，能夠很簡便的完成各種工程計算，非線性方程組的求解方法以其獨有的方法解決了各種計算．非線性方程組的求解正是為了這個目的才廣泛被人們應(yīng)用，此文也將給出非線性方程組求解的實際應(yīng)用．1.2非線性方

4、程求根的內(nèi)容解非線性方程的主要算法是迭代法，如fsolve、二分法、牛頓迭代法等．迭代法是從已知的解的初始近似值(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式求得一近似值序列逐步逼近于所求的解α(稱為不動點)．這一方法是否成功取決于三個因素，首先應(yīng)與同解，其次初值的選取是否合適，一般要與真解靠近，最后也是最關(guān)鍵的是迭代序列是否收斂，為了保證收斂性，在真解附近應(yīng)有否則迭代序列可能發(fā)散．最基本的迭代法是Newton迭代法，其迭代格式為.從幾何上說為用在出切線代替求得的解，所以也稱為切線法，當(dāng)初值與真值足夠靠近，Newton

5、迭代法收斂．對于單根，Newton法收斂速度很快；對于重根，收斂較慢．牛頓迭代法的大概算法為：給定初始值，為根的容許誤差，為的容許誤差，為迭代次數(shù)的容許值.①如果或迭代次數(shù)大于，則算法失敗，結(jié)束；否則執(zhí)行②②計算③若或，則輸出，程序結(jié)束；否則執(zhí)行④④令，轉(zhuǎn)向①下面給出了Newton迭代法的計算程序．functionx=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：Newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x返回數(shù)值解，%fname

6、和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)%f'(x),x0為迭代初值，e精度要求（默認(rèn)為1e-4)ifnargin<4,e=1e-4;%精度默認(rèn)為1e-4endx=x0;x0=x+2*e;%使while成立，進(jìn)入while后x0得到賦值whileabs(x0-x)>ex0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);End2牛頓迭代法的實現(xiàn)及應(yīng)用2..1Newton迭代法具體例子的實現(xiàn)用Newton迭代法解方程在1.5附近的根．解：當(dāng)時，，即恒正，所以根在[0,2].我們

7、先用圖解法找初值，在用Newton法程序newton.m求解．fun=inline('x^3+x^2-3*x-3');%就是定義一個內(nèi)置函數(shù)，本質(zhì)上說跟function干的是一樣的事，只不過它可以直接內(nèi)嵌在命令行里，不用另外單獨定義function.fplot(fun,[0,2]);gridon;圖2.1的函數(shù)圖像由圖可知方程有唯一正根在[1.6,1.8]之間，我們?nèi)〕踔?.5代入Newton程序中．dfun=inline('3*x^2+2*x-3');formatlong;newton(fun,dfun,

8、1.5,1e-4);formatshort;ans=1.73205080756888而用Matlab本身的函數(shù)fzero求出來的結(jié)果為：formatlong;fzero(inline('x^3+x^2-3*x-3'),1.5);formatshortans=1.73205080756888下面用牛頓迭代法解決一些實際問題2.2應(yīng)用牛頓法解決購房貸款利率問題住房是居民消費的一個主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然