非線性方程求根.ppt

《非線性方程求根.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、問題驅(qū)動：全球定位系統(tǒng)（GPS）人類對導(dǎo)航和定位的需求是伴隨著人類整個文明歷史的進步而發(fā)展的，中國古代“四大發(fā)明”之一的指南針是最早的定位儀器和系統(tǒng)，其后還有經(jīng)緯儀以及近代的雷達。如圖5.1.1所示全球定位系統(tǒng)（GPS）是基于衛(wèi)星的導(dǎo)航系統(tǒng)，最早最早由美國和前蘇聯(lián)分別在80年代研制，并于1993年正式投入使用?，F(xiàn)代社會中全球定位系統(tǒng)越來越深入到人們生活的方方面面。例如市場上出售的手持型GPS,定位的精度可以達到10米以內(nèi)，這無疑給旅行者提供了方便;安裝有GPS的兒童手表，家長在家里的計算機上可以追蹤到孩子的位置，防止兒童走失;

2、安裝有GPS系統(tǒng)的汽車可以幫助新司機辨識道路等等?！?引言圖5.1.1衛(wèi)星定位示意圖美國和前蘇聯(lián)的GPS都包括有24顆衛(wèi)星,它們不斷地向地球發(fā)射信號報告當(dāng)前位置和發(fā)出信號的時間,衛(wèi)星分布如圖5.1.2所示。它的基本原理是:在地球的任何一個位置，至少同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號。發(fā)射的信號，設(shè)地球上一個點R，同時收到衛(wèi)星假設(shè)接收的信息如表5.1.1所示。請設(shè)法確定R點的位置。圖5.1.2衛(wèi)星分布圖表9.1.1GPS導(dǎo)航問題可歸結(jié)為求解非線性代數(shù)數(shù)方程組,當(dāng)時就是單個方程..其中可以是代數(shù)方程，也可以是超越方程。使成立的x值稱為

3、方程的根，或稱為的零點?？茖W(xué)與工程計算中，如電路和電力系統(tǒng)計算、非線性力學(xué)、非線性微（積分）方程、非線性規(guī)劃（優(yōu)化）等眾多領(lǐng)域中，問題的求解和模擬最終往往都要解決求根或優(yōu)化問題。前一種情形要求出方程（組）的根；后一種情形則要求找出函數(shù)取最大或最小的點。即使是對實驗數(shù)據(jù)進行擬合或數(shù)值求解微分方程，也總是將問題簡化成上述兩類問題。上述除少數(shù)特殊方程外，大多數(shù)非線性代數(shù)方程（組）很難使用解析法求解精確解，一般需要通過一些數(shù)值方法逼近方程的解。這里主要介紹單個方程的數(shù)值解法，方程組也可以采用類似的方法，將放在后面討論。1．根的存在性。

4、方程有沒有根？如果有，有幾個根？2．根的搜索。這些根大致在哪里？如何把根隔離開？3．根的精確化。f(x)=0（5.1.1）1.根的存在性定理1：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果f(a)?f(b)<0，則方程f(x)=0在[a,b]內(nèi)至少有一實根x*。定義：如果存在使得，則稱為方程（5.1.1）的根或函數(shù)的零點。若其中為正整數(shù)，則當(dāng)m=1時，稱為方程（5.1.1）的單根或函數(shù)的單零點。當(dāng)時，稱為方程（5.1.1）的m重根或函數(shù)的m重零點。2.根的搜索(1)圖解法（利用作圖軟件如Matlab)(2)解析法(3)近似方程法

5、(4)定步長搜索法（1）畫出f(x)的略圖，從而看出曲線與x軸交點的位置。（2）從左端點x=a出發(fā)，按某個預(yù)先選定的步長h一步一步地向右跨，每跨一步都檢驗每步起點x0和終點x0+h的函數(shù)值，若那么所求的根x*必在x0與x0+h之間，這里可取x0或作為根的初始近似。x*abf(x)開始讀入a,ha?x0f(x0)?y0x0+h?x0f(x0)?y0>0打印結(jié)束否是繼續(xù)掃描例1：考察方程x00.51.01.5f(x)的符號－－－＋ab或不能保證x的精度abx0x1x*§2二分法執(zhí)行步驟1．計算f(x)在有解區(qū)間[a,b]端點處的值

6、，f(a)，f(b)。2．計算f(x)在區(qū)間中點處的值f(x0)。3．判斷若f(x0)=0，則x0即是根，否則檢驗：（1）若f(x1)與f(a)異號，則知解位于區(qū)間[a,x0]，b1=x0,a1=a;（2）若f(x0)與f(a)同號，則知解位于區(qū)間[x0,b]，a1=x0,b1=b。反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間：4、當(dāng)時，停止；即為根的近似。當(dāng)時，，即這些區(qū)間必將收縮于一點，也就是方程的根。在實際計算中，只要的區(qū)間長度小于預(yù)定容許誤差就可以停止搜索，即然后取其中點作為方程的一個根的近似值。注：例1證明方程存在唯一

7、的實根用二分法求出此根，要求誤差不超過。解：記，則對任意，因而，是嚴格單調(diào)的，最多有一個根，所以，有唯一實根又因為用二分法求解，要使，只要解得，取。所以只要二等分7次，即可求得滿足精度要求的根。計算過程如表5.2.1所示kf(ak)及符號f(xk)及符號f(bk)及符號012345670(－)0(－)0(－)0(－)0.0625(－)0.0625(－)0.078125(－)0.0859375(－)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.0625(－)0.09375(+)0.078125(－)0.0859375(－)1(+

8、)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.125(+)0.09375(+)0.09375(+)0.09375(+)表5.2.1所以，①簡單;②對f(x)要求不高(只要連續(xù)即可).①無法求復(fù)根及偶重根②收斂慢二分法的優(yōu)缺點?問題?雖然二分法計算簡單，能夠保證收斂，但是它對