非線性方程求根課件.ppt

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1、第二章非線性方程求根序由實(shí)變量的非線性函數(shù)形成的方程稱為非線性方程。若有數(shù)，使，或稱為方程的零點(diǎn)。方程的根有實(shí)根和復(fù)根之分。則稱為的根，一般的，非線性方程的根很難求得，實(shí)際應(yīng)用中，也無(wú)必要得到根的精確表達(dá)式，只要得到滿足一定精度的根的近似值即可。求方程根的近似值，需要解決的問(wèn)題：⑴根的存在性方程有無(wú)根，有幾個(gè)；⑵根的隔離找出有根區(qū)間，使得在一些較小的區(qū)間內(nèi)方程僅有一個(gè)根，以得到根的較粗糙的近似值；⑶根的精確化利用合適的數(shù)值計(jì)算方法，逐步把根精確化，直至滿足精度為止。1從1～1000這1000個(gè)自然數(shù)隨機(jī)

2、抽出１個(gè)數(shù)，誰(shuí)能根據(jù)提示“大了”“小了”“對(duì)了”先猜出這個(gè)數(shù)？猜數(shù)字游戲，看誰(shuí)先猜中：10次以內(nèi)能猜出嗎？二分法的廣泛應(yīng)用2復(fù)習(xí)：零點(diǎn)定理（根的存在性定理）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)的不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.3§1二分法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且則在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。取中點(diǎn)將其二分，若否則，若則若令則令從而得到方程的一個(gè)新

3、的有根區(qū)間其長(zhǎng)度是的一半。對(duì)有根區(qū)間再取中點(diǎn)將其二分，施以上述同樣的方法，從而又得到方程的一個(gè)新的有根區(qū)間其長(zhǎng)度是的一半。連續(xù)重復(fù)上述步驟，反復(fù)二分下去，可能會(huì)在某一步得到方程根的精確值，首先則其次否則，便得到一組不斷縮小的有根區(qū)間4其中每一個(gè)有根區(qū)間的長(zhǎng)度都是前一個(gè)有根區(qū)間的一半，當(dāng)時(shí)，上式極限為零，即這些區(qū)間最終必收縮于一點(diǎn)該點(diǎn)即為所求的根。區(qū)間的中點(diǎn)形成一個(gè)序列顯然實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于給定的根的允許誤差只要就可確定得到滿足精度要求的近似根,上述求非線性方程的實(shí)根的近似值的方法稱為二分法。的長(zhǎng)度為從而同

4、時(shí)也得到所需二分次數(shù)k.5例1用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根的近似值，并指出其誤差。解這里在內(nèi)連續(xù)，所以是的有根區(qū)間。用二分法計(jì)算結(jié)果如下表：++++的符號(hào)2.10156252.1093752.093752.06252.1252.252.52.1093752.1252.1252.1252.252.532.093752.093752.0625222265432106若取其誤差為（可求得根的精確值為）。例2用二分法求方程的非零實(shí)根的近似值,使其誤差不超過(guò)。解如圖，可確定故方程只有一個(gè)非零實(shí)根由用二分法計(jì)算結(jié)果

5、如下表：與橫坐標(biāo)介于與之間，除原點(diǎn)外只有一個(gè)交點(diǎn)，70.005363400.1560140.04042080.004962280.07517950.2183611.92968751.9218751.906251.93751.8751.751.93751.93751.93752221.9218751.906251.8751.8751.751.5543210所以可取注二分法算法簡(jiǎn)單，編制程序容易，缺點(diǎn)是不能求偶數(shù)重根和復(fù)數(shù)根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其他的求根方法精確化。8例不能求出所有根,

6、(即有可能漏根)。例如圖該點(diǎn)可求出,但漏掉了四個(gè)點(diǎn)2.不能用于求偶重根、復(fù)根；不能推廣到多元方程組求解；缺點(diǎn):的等比級(jí)數(shù)的收斂速度相同。1.收斂速度不快,僅與公比為即是線性收斂的。9§2迭代法一、簡(jiǎn)單迭代法迭代法是一種逐次逼近的方法，其基本思想是使用某個(gè)固定公式反復(fù)校正根的近似值，從而得到一個(gè)近似根的序列,使得該序列的極限就是方程的根。然后從根的某個(gè)初始近似值出發(fā)，作迭代計(jì)算若連續(xù)且此序列收斂于則立得1、一般形式（具體做法）：依次得到一個(gè)序列為了求得方程的實(shí)根，首先把所求方程等價(jià)(同解)方程轉(zhuǎn)化為即序列

7、的極限就是方程的根。10此時(shí)對(duì)于給定的允許誤差，只要k適當(dāng)大，就可作為方程根滿足精度要求的近似值。這種求方程近似根的方法稱為簡(jiǎn)單迭代法（逐次迭代法）。稱為迭代公式或迭代過(guò)程稱為根的初始近似值稱為根的k次近似值；稱為迭代函數(shù)；稱為迭代序列若迭代序列收斂，則稱迭代法收斂，此時(shí)可經(jīng)過(guò)有限次計(jì)算得到滿足精度要求的近似根；其中：若迭代序列發(fā)散，則稱迭代法發(fā)散，發(fā)散的迭代法沒(méi)有任何使用價(jià)值。11例3用迭代法求方程在內(nèi)的根。解將方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程得相應(yīng)的迭代公式若取初值計(jì)算結(jié)果如下表從表中可以看出，迭代序列是收斂的，

8、且是方程根的一個(gè)較好的近似值。12345789101.894536471.893521141.893332331.893297221.893290691.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920……612若取初值計(jì)算結(jié)果圖像（MATLAB）注：該方程的3個(gè)根1.89328919630450-0.94664459815225+0.82970355286240i（復(fù)數(shù)根）-0.946644