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1、科學(xué)計算與MATLAB中南大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院2010.10第八講 非線性方程求根內(nèi)容提要引言二分法迭代法Newton迭代法MATLAB的非線性方程求根函數(shù)小結(jié)在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常常歸結(jié)為求解非線性方程式問題，例如在控制系統(tǒng)的設(shè)計領(lǐng)域，研究人口增長率等。例關(guān)于真實氣體的狀態(tài)方程（Vanderwaals方程）為其中，P是氣體壓力，V是氣體體積，T是絕對溫度，R是氣體常數(shù)。如果已知某氣體的溫度T及壓力P，那么求體積V的方程為：1、引言非線性方程的一般形式：f(x)=0代數(shù)方程：f(x)=a0+a1x+……+anxn（an?0）超越方程：f(x)中含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、或其他超
2、越函數(shù)。用數(shù)值方法求解非線性方程的步驟：（1）找出有根區(qū)間；（只含一個實根的區(qū)間稱隔根區(qū)間）（2）近似根的精確化。從隔根區(qū)間內(nèi)的一個或多個點出發(fā)，逐次逼近，尋求滿足精度的根的近似值。2、方程求根的二分法2.1二分法的基本思想：假定f(x)=0在[a,b]內(nèi)有唯一單實根x*，考察有根區(qū)間[a,b]，取中點x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，則x*=x0，否則，（1）若f(x0)f(a)>0，則x*在x0右側(cè)，令a1=x0，b1=b;（2）若f(x0)f(a)<0，則x*在x0左側(cè)，令a1=a，b1=x0。定理1（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且f(a)f(b)<0
3、，則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少有一個根。以[a1,b1]為新的隔根區(qū)間，且僅為[a,b]的一半，對[a1,b1]重復(fù)前過程，得新的隔根區(qū)間[a2,b2]，如此二分下去，得一系列隔根區(qū)間：[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]?……?[ak,bk]?……其中每個區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，故[ak,bk]的長度：當(dāng)k趨于無窮時趨于0。即若二分過程無限繼續(xù)下去，這些區(qū)間最后必收斂于一點x*，即方程的根。每次二分后，取有根區(qū)間的中點xk=(ak+bk)/2作為根的近似值，則可得一近似根序列：x0,x1,x2,…該序列必以根x*為極限。實際計算中，若給定充分小的正數(shù)?0和允許誤
4、差限?1，當(dāng)
5、f(xn)
6、
7、m(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('兩端點函數(shù)值乘積大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps);endfunctionr=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/
8、2);if(f_1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps);elseif(f_1*mf==0)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4;elses=(a+b)/2;r=FindRoots(f,a,s,eps);endendend例：用二分法求方程x^3-3x+1=0在區(qū)間[0，1]上的一個根。3.1基本思想迭代法是一種逐次逼近的方法，用某個固定公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化，最后得到滿足精度要求的結(jié)果。3、迭代法例：求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一個根。將所給方程改寫成假設(shè)初值x0=1
9、.5是其根，代入得x1≠x0，再將x1代入得x2≠x1，再將x2代入得如此下去，這種逐步校正的過程稱為迭代過程。這里用的公式稱為迭代公式，即k=0,1,2,……迭代結(jié)果見下表。僅取六位數(shù)字，x7與x8相同，即認(rèn)為x8是方程的根。x*≈x8=1.32472kxkkxk012341.51.357211.330861.325881.3249456781.324761.324731.324721.32472計算否輸出迭代次還沒有達(dá)到精度要求信息輸出輸入是將連續(xù)函數(shù)方程f(x)
