巧用S△公式解題例說

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1、坊用么式解題例換、巧用面積比我們知道：SA=-ah,由此公式可知：2a、等（同）底等（同）高的三角形面積相等；b、同（等）底三角形的面積比等于對應(yīng)高之比；c、同（等）高的三角形的面積比等于對應(yīng)底之比。對于相似三角形，我們還有：相似三角形的面積比等于相似比的平方。例1已知:如圖1,BD1AC,AB,且CE=BDo求證：AB=ACo利用這些面積關(guān)系解題，具有直觀、簡便、靈活、新穎的特點，試看兒例：證明:?Sacab=Sabac9即丄AB?CE」AC?BD,22又JCE=BD,???AB=ACo評議：例L一般先用全等三角形知識求證，也可用四點共圓求證，但用s△公式

2、求證再簡單不過了，很好。例2如圖2,AD是AABC的角平分線。求證：也=ACBDOCD證明：作DE丄AB于E,DF丄AC于F。???AD平分ZBAC,???DE=DF,?SaadrAB?-瓦礦庇XVAABD與AACD同高，由⑴、⑵得,旻=魯。淇2評議：例2的結(jié)論就是重要的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理。傳統(tǒng)證法是利用等腰三角形性質(zhì)、平行線的判定及平行線分線段成比例定理等知識求證，所用知識較多，而上述證法,所用知識單一，證明過程簡捷,較優(yōu)。思考：請用S△面積法證明平分線分線段成比例定理（即如圖3,h〃12〃13,求證：空=匹）。BCEF二、巧用面積和關(guān)于圖形面積，

3、我們有：一個圖形的面積等于它的各部分面積Z和。巧妙地利用這一性質(zhì)解題,往往能起到化繁為簡,化難為易的效果。例3如圖4,正方形PQRT內(nèi)接"FAABC,已知ZXATR,ABTP,ACQR的面積分別為Si=l,S2=3,S3=l,那么正方形PQRT的邊長是（）oA>V2B>73C、2D、3解：設(shè)正方形PQRT的邊長為x,作AABC的高AD,交RTE。在8TR中,由S^lRT-AE,得AE=^=

4、O同理，BP=@,QC=?。XX/.Saabc=-BC?AD=-(-+x+-)(-+x)=丄22xxx2(x2+10+i

5、),同吋Saabc=S1+S2+S3+S正方形P

6、QRT=5+x???IW+10+歲)=5+xx=16,x=2o故選C。三、巧用s△公式的不同表達形式常見的三角形面積公式有：a、S△眥="h；b、(a+b+c)T=^￡(其中r、R分別為ZABC24R的內(nèi)切圓、外接圓半徑)；c、Saabc=-absinC二丄bcsinA=-acsinBo222在幾何證明中可利用這些公式作為橋梁，使證明轉(zhuǎn)化為量的計算，從而找到證題的方法。例4已知ZXABC中，三邊上的高分別為g,hb,hc,內(nèi)切圓半徑為r,且ha+hb+hc=9ro求證：AABC為等邊三角形。分析：已知是二角形的二條咼與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，結(jié)論是證AABC

7、為等邊三角形，即證三邊相等。聯(lián)想到三角形面積與內(nèi)切圓半徑和高均有關(guān)系，所以用三角形面積作為橋梁能使已知和結(jié)論之間產(chǎn)牛聯(lián)系。破題思路：???SAABc=

8、aha=lbhb=

9、chc,ha+hb+hc=2SaABC(丄+丄+丄)=9roabc乂TSaabc—--(a+b+c)r,2(a+b+c)(-+-+-)r=9r,abc2+￡+纟+￡+纟+2-6二0,aabbccAI)E圖5=汁尹汁彈汁寸na=b=c°???AABC為等邊三角形。例5如圖5,已知ZSABC中，ZACB=90°,CD是高，CE是角平分線，AC=6,BC=8,求CD、CE的長。分析：例5本可以用

10、射影定理求解，但用面積法，則更為簡便。解：如圖5,由勾股泄理有AB=7ac2+bc2=10o???丄AB?CD=1AC?BC,22CD=^C>gC=6x8=4>goAB10XV丄AC?CEsin45°+丄CE?BCsin45°=^AC?BC,222丄BD于E,PF±AC于F。求證：PE+PF=AB。綜上所述，巧用S△面積法解題的關(guān)鍵有三：（1）應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，通過添設(shè)輔助線把問題轉(zhuǎn)化為三角形的面積問題；（2）應(yīng)用三角形的面積比和線段比的關(guān)系定理，把線段比轉(zhuǎn)化為面積比；（3）應(yīng)用面積的剖分、組合原理，結(jié)合面積公式引入方程，用代數(shù)方法來計算或證明幾何問題。