例說數(shù)學(xué)解題策略

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1、例說數(shù)學(xué)解題策略首都師大附中李大永如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中長(zhǎng)期處于題型的模仿性訓(xùn)練狀態(tài)，而缺少自己的研究性學(xué)習(xí)和思考，對(duì)高考中所出現(xiàn)的一類背景新穎、構(gòu)思精巧、思維與能力立意的試題就會(huì)顯得束手無策，缺少解決的辦法和思路.盡管題型的歸類和常規(guī)問題的解決方法的歸納無疑對(duì)我們的考試是非常冇幫助的，但是，我們永遠(yuǎn)也無法通過題型來覆蓋所有數(shù)學(xué)問題?因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,在我們熟練掌握各種常規(guī)問題的解題思想和方法后，還應(yīng)著眼于自身數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與提高，注重?cái)?shù)學(xué)解題的思維策略的使用.思維策略的價(jià)值就在于當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)問題，處于一籌莫展時(shí)，它給我們指引一

2、個(gè)行動(dòng)的方向，使我們撥開重重迷霧，發(fā)現(xiàn)解題的光明之路；當(dāng)我們?cè)谠诜彪s的運(yùn)算中不能白拔時(shí)，思維策略會(huì)給我們指引一個(gè)掙脫運(yùn)算的途徑.策略一：回到定義去（弄清題目所涉及的概念）〔］XGA/【例1】函數(shù)九‘⑴的定義域?yàn)镽,其定義如下：幾（力=J（其中M為非空數(shù)集［0在實(shí)數(shù)集7?上有兩個(gè)非空真子集力』滿足A^B=0t則函數(shù)F（兀）=力》⑴+1的值域?yàn)椋˙）刀（兀）+厶（兀）+1A.{0}B.{1}C.{0,l}D.0【分析】新定義類問題，應(yīng)關(guān)注對(duì)定義的理解，反復(fù)閱讀直至卻是理解后再做題.【例2］（上海卷理14）將函數(shù)y=a/4+6x-x2-2

3、（xe［0,6］）的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角0（Q<0

4、）=cot0=§【例31(2009江西卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)=Jax^bx+cd<0)的定義域?yàn)镈,若所有點(diǎn)gD)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則Q的值為A.—2B.—4C.—8D.不能確定【分析】弄懂“所有點(diǎn)(5,/(/))(5,/gD)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域”所指是木題的前提！明白其所指為“定義域與值域的相同區(qū)間長(zhǎng)度相同”后，結(jié)合本函數(shù)的解析式可得：IXI-x21=Znax(x)>『=J"；/'SA2啟，a=-4,選B【例4】已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如下圖,則y=f(xy=g(x)的圖象可能是(B)yF（號(hào)y卜VJ^y

5、=g（x）y夕y嚴(yán)形y/y^k0x0Xor0工OXABCD【分析】考慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義，依據(jù)兩導(dǎo)函數(shù)圖象可得原函數(shù)在x=x0處切線斜率相等，而且y=f(x),y=g(x)的切線斜率一增一減.所以選B.關(guān)于凹凸性的再解釋。策略二：重新表述問題(使問題逐步變得清晰明了、簡(jiǎn)單熟悉)【例5】過點(diǎn)/(1,0)』(4,4)且與直線/:x=-l相切的圓有()A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)【分析】可以按部就班地進(jìn)行，先求出中垂線方程，設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，用圓心到直線/距離等于到/點(diǎn)的距離解方程，看解的個(gè)數(shù).這樣的計(jì)算量比較大，雖可以解決問題，但對(duì)于做選擇題

6、來講并不理想.注意到本題只問圓的個(gè)數(shù)并不需求出圓的方程，采取作圖分析：圓心M所需滿足條件：在昇〃屮垂線上，且需滿足圓心M到點(diǎn)/距離與到直線/距離相等(是在以/為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋物線上)，因此，問題可以重新表述為“4B中垂線與拋物線y2=4x冇幾個(gè)交點(diǎn)？”而這從圖形位置關(guān)系一冃了然！【例6](四川卷理9)已知直線厶：4x—3尹+6=0和直線厶：x=—1,拋物線/=4%上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線厶的距離之和的最小值是1137A.2B.3C.—D.—516【分析】直線/2:x=-l為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到厶的距離等于P

7、到拋物線的焦點(diǎn)F(1,O)的距離.小值為F(1,O)到直線/1:4x-3y+6=0的距離,即dmin14—0+615=2,故選樣A.故重新表述問題：為在拋物線y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1,O)和直線厶的距離之和最小，最【例7】設(shè)函數(shù)/(%)=ax3-3x+1(xgA),若對(duì)于任意的x6［-1,1］都有/(x)>0成立，貝0實(shí)數(shù)Q的值為【分析】木題若通過談?wù)摵瘮?shù)/(x)的最小值來解決，相當(dāng)于在解一?道大題.31①(參變量分離)重新表述為“對(duì)于任意的"［—1,0)都冇t7>—--成立，且對(duì)于任意的XG(0,l］都疋X31有67<

8、—一一成立，且對(duì)于X=0,1〉0成立”.下面討論求解：若兀=0,則不論a取何值，/(兀)》o顯然成立；31當(dāng)x>0即xg(0,1］時(shí)，f(x)=ax3-3x+l>0可化為a>—一一r設(shè)g(x)=2_A，則g(巧=3卩嚴(yán)X